Лекции / Лекции поэлектротехнике(1-аячасть базового курса) / C00K15TO
.DOCЛЕКЦИЯ №15.
Круговые диаграммы цепей переменного тока.
При анализе цепей часто важно знать, как изменяется модуль и аргумент комплексов тока и напряжения в зависимости от изменения параметров цепи. Для решения подобного рода задач широко применяются круговые диаграммы.
При этом необходимо построить годографы (геометрические места) концевых точек векторов, изображающих комплексные величины. В общем случае годографы имеют сложную форму. В простых случае они представляют прямые линии или окружности.
Например, при последовательном соединении комплексных сопротивлений и , если , и неизвестны, а модуль Z2 сопротивления изменяется от 0 до , комплексное сопротивление ветви
изменяется так , что годограф на комплексной плоскости получается в виде прямой линии.
Комплексная проводимость этой ветви
.
Обозначим через и перепишем уравнение в виде:
Рассматривая это уравнение как векторное, замечаем, что сумма двух изменяющихся по величине и по направлению векторов и , а также угол между ними не изменяются. Это возможно только в случае, если годограф конца вектора представляет собой окружность с хордой OMk . На рисунке показан годограф при .
При Z2 =0 конец вектора совпадает с точкой Мк (); при Z2 = - c точкой O (Y = 0). Центр окружности можно найти, исходя из следующих соображений.
Отложим из O по направлению хорды отрезок ОА, равный в некотором масштабе Zk . Из его конца проведем линию AN¢ под углом к ОА.
Очевидно, что , т.е.
,
или если ОА изображает Zk , то AN в том же масштабе изображает Z2. Следовательно AN¢ - линия переменного параметра. Отложив по ней Z2 и соединив O и N , для любого Z2 можно определить ОМ. При увеличении Z2 точка М приближается к О. В пределе при Z2 ® вектор Y = 0, а точка М сольется с О. При этом секущая ON становится касательной ОТ , а ON будет параллельна ОТ . Поэтому перпендикуляр OD к AN / является также перпендикуляром к OT, т.е. совпадает по направлению с диаметром. Его пересечение со вторым диаметром - перпендикуляром к середине хорды ОМк определяет центр окружности.
Рассмотрим теперь простую электрическую цепь из последовательно соединенных Zк и Z2 .
Напряжение и ток связаны соотношениями:
, , где .
Если цепь присоединена к источнику тока J = I = const, то напряжение U изменяется по закону, совпадающему с законом изменения Z. Годографом конца вектора U , будет в этом случае прямая линия. Если же цепь подключена к источнику напряжения U =const, то при изменении Z2 ток I изменятся по закону, совпадающему с законом изменения комплексной проводимости.
Годограф вектора I - окружность которую строят следующим образом.
В масштабе mu на комплексной плоскости откладываем вектор U (на рисунке принят действительным числом).
Вычисляем
и проводим ОMк - хорду окружности в масштабе mI .
Выбираем mz и откладываем
.
Из точки А(Мк ) под углом
к ОМк (или ее продолжению) проводим линию переменного параметра AN /. Из точки О проводим OD перпендикулярно AN /. Из середины хорды ОМк восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с OD в точке С - центре окружности. Проводим дугу окружности по ту сторону от хорды, куда направлена линия AN /.
Для любого Z2 ток определится, если отложить по AN / отрезок и точку N соединить с точкой О.
Напряжение на постоянном сопротивлении
пропорционально току. Поэтому ОМ в другом масштабе изображает модуль Uk (но не фазу !). Масштаб Uk определим при коротком замыкании переменного сопротивления (Z2 = 0). Тогда ОМ становится ОMк и . Следовательно, .
Отрезок ММк в том же масштабе определяет модуль (но не фазу !) напряжения , так как
.
Длина перпендикуляра MF определяет активную мощность цепи, т.к.
.
Отрезок OF в том же масштабе изображает реактивную мощность, т.к.
.
Мощности , и могут определяться отрезком MG или MН. В самом деле , опустив перпендикуляр на ON/ , имеем площадь треугольника ОММк :
т.е. площадь треугольника пропорциональна полной мощности, т.к. =const. Но , а . Поэтому при постоянстве j2 эти же отрезки выражают также Р2 и Q2.
Масштабы определяются по частному режиму.
Этот же способ построения круговой диаграммы может быть применен и для разветвленных цепей, если выразить ток одной из ветвей с помощью теоремы об активном двухполюснике в виде:
,
т.е.
,
где
.
Подобным приемом задача построения диаграммы сводится к неразветвленной цепи, аналогично рассмотренной.