§ 5 Обчислення границь

5.1. Невизначені вирази

Перш ніж перейти к обчисленню границь, запишемо за допомогою символів основні теореми теорії границь.

Нагадаємо символи:

a – стала

∞ - нескінченна велика додатня

-∞ - нескінченна велика від’ємна

+0 – нескінченна мала додатня

-0 – нескінченна мала від’ємна

1) a+0=a; a 0=0; ; =∞

2) ∞;

3) a+∞=∞; a ∞=∞; ∞+∞=∞; ∞ ∞=∞

4) ∞^∞=∞; 0^∞=∞

Але при обчисленні границь дуже часто з’являються так названі невизначеності. Символічно їх можна записати так:

Ці умовні записи характеризують поведінку змінних величин.

Щоб знайти границю невизначеності виразу, треба усунути цю невизначеність.

Розглянемо деякі окремі випадки.

1. Невизначеність виду задана відношенням двох многочленів

=

=

Тобто, щоб розкрити невизначеність , треба чисельник і знаменник розділити на найвищий степінь x у цих многочленах. При цьому можна сформувати таке правило:

1. Якщо найвищий степінь чисельника вище найвищого степеня знаменника, то границя дробу нескінченно велика.

2. Якщо найвища степінь чисельника нижче найвищого степеня знаменника, то границя дробу дорівнює нулю.

3. Якщо найвищі степені чисельника і знаменника однакові, то границя дорівнює частки від поділу коефіцієнтів біля старших степеней.

2. Невизначеність виду задана відношенням двох многочленів

=

Розкладемо чисельник і знаменник на множини:

Множини (x-1), через який чисельник і знаменник прямують до нуля, називають критичним множником.

Таким чином, щоб розкрити невизначеність , задану відношенням двох многочленів, треба в чисельнику і знаменнику виділити критичний множник і скоротити на нього дріб.

3. Невизначеність задана ірраціональними виразами.

(х-2) – критичний множник. Позбудемося від ірраціональності в чисельнику.

4. Невизначеності виду ∞-∞ задані ірраціональними виразами.

5.2 Перша важлива границя.

Доведемо, що .

y B A 1 x 0 C D x

Візьмемо круг радіуса 1 і позначимо радіанну міру кута AOD через х, 0 . Порівнюючи площі трикутників АОD, BОD і колового сектора АОD, дістанемо:

Звідки

Розділивши ці нерівності на , маємо

І по властивості границь (п.5)

Зміна x на (-x) не змінює дріб. Тому це вірно і при x <0.

Треба вказати, що перша важлива границя може бути визначена і для функцій

5.3 Друга важлива границя

; ; ,

де e=2,72 – ірраціональне число.

Це число грає в математиці таку ж важливу роль, як і число π. Логарифми за основою e називаються натуральними. Вони зв’язані з логарифмами за основою a

Зауваження. При обчисленні границь, зв’язаних з числами e, застосовують таке твердження:

якщо границі і існують і

Приклад: