§6. Порівняння нескінченно малих функцій.

6.1 Класифікація.

Нехай при , тобто обидві функції в точці x=a поводяться як нескінченно малі величини.

1. Якщо , , то кажуть, що нескінченно малі одного порядку.

2. Якщо A=1, тобто , то нескінченно малі називають еквівалентами та позначають ~

3. Якщо то величина відносно є нескінченно малою вищого порядку.

4. Якщо , то величина відносно є нескінченно малого нижчого порядку.

5. Якщо , , то величина відносно є нескінченно малою k-го порядку.

Приклади:

1) нескінченно малі еквівалентності.

2) - відносно х нескінченно мала вищого порядку , тобто вона швидше прямує до 0.

3) – величина має такий же порядок малості, що і , по відношенню до змінна - мала 2 – го порядку.

6.2 Властивості еквівалентних нескінченно малих.

1. Якщо ~ , то різниця - є величина нескінченно мала порядку вищого, ніж кожна з цих величин:

2. Границя відношення двох нескінченно малих не зміниться, якщо кожну з них (або тільки одну) замінити еквівалентною нескінченно малою:

α~γ; β~δ→

Ця властивість дає змогу при знаходженні границі відношення двох заданих нескінченно малих функцій кожну з них (аби тільки одну) замінити іншою нескінченно малою, яка еквівалентна заданій. Часто зустрічаються такі еквівалентні нескінченно малі.

При

Приклад:

§7 Неперервність функції.

7.1 Приріст функції

Н ехай функція y=f(x)визначена в точці і в деякій її околі.

y Δy y=f(x) Δx +Δx

Значення функції в цій точці

Надамо х деякий приріст ∆x( >0 чи <0 ).

Новому значенню аргумента відповідає нове «наращене» значення функції

Приріст функції визначається формулою

Приклад.

Для функції y=sinx її приріст в точці запишемо так

7.2 Неперервність функції у точці.

Означення 1.

Функція y=f(x) неперервна у точці , якщо вона визначена в цій точці і деякому її околі і всякому нескінченно малому приросту аргумента в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто

Приклади .

1. Згадаємо попередній приклад , коли ми знайшли

Знайдемо границю цієї величини, коли ∆x→0

при будь-якому . Одержали , що функція неперервна при всіх значеннях х.

2. 

y 2 1 2 4 x

Якщо , то

Нехай ∆х>0 , тоді при ;

Тобто функція у точці має розрив.

Зауваження .

Умову неперервності в точці можна представити так:

В означенні отримаємо , тобто функція неперервна в точці , якщо границя функції і її значення в цій точці співпадають.

Основні елементарні функції неперервні в усіх точках, де вони визначені.