Диференціальне числення функції однієї змінної.

Будь-яка наукова проблема, як правило, вивчає зв'язок між змінними величинами. Дуже часто функція визначає якийсь процес, який змінюється з часом. Інформацію про зміни, які відбуваються при цьому з функцією, можна отримати за допомогою спеціальної операції – диференціювання.

§ 8. Похідна.

8.1. Миттєва швидкість.

Нехай матеріальна точка рухається нерівномірно вздовж деякої прямої і за час t проходить відстань S, що дорівнює відрізку OM. Тоді різним моментам часу t відповідатимуть різні положення точки М, тобто відстань S рухомої точки М є деякою функцією часу t: S=S(t). Треба знайти швидкість руху точки М.

О М

S(t) ΔS(t)

S(t+Δt)

Нехай з моменту t пройшов деякий час Δt ( Δt > 0- приріст часу). За час Δt рухома точка перейде в положення , і пройде шлях, який позначимо через ΔS (ΔS- приріст шляху, що дорівнює відрізку ). Отже, за час t+Δt матеріальна точка пройде шлях

Середньою швидкістю Vср. руху точки за проміжок часу [t; t+ Δt] називають відношення приросту шляху до приросту часу:

.

Середня швидкість залежить від значення Δt, причому чим менший проміжок Δt після моменту часу t, тим точніше середня швидкість відображає швидкість руху точки у даний момент часу t. Істинну (миттєву) швидкість руху точки дістанемо як границю, до якої прямує середня швидкість Vcp. при . Цю границю називають швидкістю руху точки в момент часу (або миттєвою швидкістю) і позначають

Знаходження миттєвої швидкості руху – це одна з багатьох задач, які приводять до поняття похідної.

8.2. Означення похідної. Механічний та фізичний зміст похідної.

Нехай на деякому проміжку [a;b] задано функцію y=f(x). Візьмемо будь-яку точку х є [a;b] і надамо х довільного приросту Δх такого, щоб точка х+Δх також належала проміжку [a;b]. Знайдемо приріст функції Δy=f(x+Δx) - f(x).

Похідною функції y=f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції Δy в цій точці до приросту аргументу Δх, коли приріст аргументу прямує до нуля. Похідна позначається

.

Таким чином

Якщо в деякій точці х границя , то похідну в цій точці називають нескінченною. Якщо границя в деякій точці не існує, то не існує в цій точці і похідної.

Якщо функцією є путь, який залежить від часу t: S=f(t), то похідна - це миттєва швидкість механічного руху. Це механічний зміст похідної.

Взагалі похідна означає, як швидко змінюється функція у(х) відносно зміни її аргументу. Це фізичний зміст похідної.

8.3. Схема знаходження похідної.

Щоб знайти похідну функції y=f(x) в деякій точці х, треба:

1) надати значенню х довільного приросту Δх і знайти відповідний приріст функції Δy=f(x+Δx) - f(x);

2) знайти відношення

3. знайти границю відношення:

Приклади:

1.

1)

2)

3)

2.

1)

2)

3)

3. y=sin x

1)

2)

3)