4.4. Границя функції

Дамо означення границі функції на «мові ε-δ»

Нехай функція f(x)визначена в деякій околі x точки a крім, можливо, самої точки a. Число A є границею функції f(x) в точці a, якщо для довільного числа ε>0 існує число δ=δ(ε)>0 таке, що для всіх x є X, які задовольняють нерівність , виконується нерівність

Позначення:

Це позначення можна представити геометрично: якщо A є , то для будь-якого околу точки А на осі ОУ існує δ-окіл точки a на осі ОХ така, що для всіх х≠ a із δ-околу відповідні значення функції попадають в ε-окіл, тобто точки графіку функції знаходяться у смузі, обмеженій прямими y=A+ε і y=A-ε

y y=f(x) A+ε A 2ε A-ε 0 a-b a a+b x

Приклад 1

Довести, що

Нехай у=3х+2 і задано ε>0. Знайдемо δ>0 таке, що для усіх х, які задовольняють нерівності , виконуються нерівність . Для виконання цієї нерівності, щоб

, або ,

Звідси . Якщо тепер для довільного ε>0 і знайденого δ взяти х, що задовольняють нерівності , то

Приклад 2.

Довести, що .

Візьмемо довільні ε>0 і доведемо, що існує такий окіл таки a=1, що для усіх точок цього околу існує нерівність

Різниця між і числом 1 буде по абсолютній величині менше будь-якого ε>0 для всіх х, які лежать між числами та . Тобто, задана функція має своєю границею при x→1 число a=1.

4.5 Односторонні границі.

У наведених вище означеннях границі вважалось, що х прямує до a довільним способом: залишаючись меншим від а (зліва від а), більшим від а (справа від а) чи коливаючись навколо а. Проте трапляється , що спосіб наближення аргументу х до а суттєво впливає на значення границі функції. Тому доцільно ввести поняття односторонніх границь.

Нехай функція y=f(x) визначена в деякому околі точки а. Число А називається границею функції y=f(x) зліва(або лівою границею) в точці а , якщо для будь-якого числа ε>0 існує число δ=δ(ε)>0 таке , що при х є (а-δ; а) виконується нерівність .

Y B y=f(x) A o a x

Число В називається границею функції y=f(x) справа (або правою границею) в точці а, якщо для будь-якого числа ε>0 існує число δ=δ(ε)>0 таке, що при x є (a; a+δ) виконується нерівність

Односторонні границі позначають так:

Приклади.

1)Знайти односторонні границі функції

Якщо x→1-0 , то 1-x→0,т.е. 1-x –додатня , нескінченно мала, а дроб - додатня нескінченно велика. При цьому -також додатня нескінченно велика. В умовних означеннях:

Таке саме одержимо односторонню границю справа:

.

Поведінку функції в околі точки х=1 зобразимо на малюнку

y 2 1 0 1 x