§ 3. Границі послідовностей і функцій.

3.1. Числова послідовність

Сформулюємо означення числової послідовності в загальному вигляді: якщо кожному натуральному числу n є N за певним правилом ставиться y відповідність число , то множину чисел називають числовою послідовністю і позначають символом - члени послідовності.

Геометрично послідовність зображується на числовій осі у вигляді послідовності точок, координати яких дорівнюють відповідним членам послідовності.

Найчастіше послідовність задається формулою її загального числа.

Приклади:

Записати перші п’ять членів заданих послідовностей та зобразити їх.

а)

3.2. Поняття нескінченно малої величини.

Змінну х називають нумерованою і означають , якщо всі її значення можна перенумерувати за допомогою натуральних чисел, причому змінна приймає ці значення по зростаючим номерам.

Змінну називають нескінченно малою, якщо яким би малим не було число ε>0, всі значення починаючи с деякого, задовольняють нерівності

| | < ε.

Якщо - нескінченно мала, то для любого числа ε>0 існує номер N, який залежить від ε, після котрого для всіх n>N виконується наведена нерівність.

Приклади:

1). Довести, що є нескінченно малою.

Дійсно, при ε=0,1 як тільки n>N = 10.

При ε=0,01 як тільки n>N=100. Взагалі як тільки

2) Довести, що =0,01+ - не є нескінченно малою.

Це слідує зразу з того, що | |=0,01+ < ε виконують не для всякого ε>0.Якщо

ε = 0,001, то воно не має місця.

Таким чином, нескінченно малі і просто малі величини – поняття різні. Нескінченно мала – це змінна величина, яка змінюється так, що при будь-якому заданому ε>0 після деякого номеру N вона починає задовольняти нерівності | | <ε.

Так величина . Початкові її значення дуже великі, але при , все ж прямує до нуля.

Але не є нескінченно малою, вона просто мала, так є постійною.

3.3. Обмежена і нескінченно велика величина.

Змінну називають обмеженою зверху, якщо існує число М так, що всі значення задовольняють нерівності <M.

Якщо для всіх n виконується нерівність m< , де m = Const, то змінна обмежена знизу.

Змінні, які обмежені зверху та знизу, - обмежені.

Це має місце, якщо існує число M>0 таке, що всі значення задовольняють нерівності

| |<M.

Наприклад, послідовності

є обмеженими одиницею, бо для них вірна нерівність

| | .

Далі, послідовності (змінні)

також обмежені.

Якщо скіль завгодно велике число М не забезпечує цю нерівність, то змінна називається необмеженою.

Частинний випадок необмеженої величини – це нескінченно велика величина: так називають змінну , якщо яким би великим не було число M>0, всі значення , починаючи з деякого, задовольняють нерівності

| |<M.

Наприклад, - нескінченно велика величина.

| |<M.

Якщо М=1000, то при n > N = 9.

Величина, обернена до нескінченно малої, є нескінченно великою і навпаки.

Доведемо це. Дійсно, нехай - нескінченно мала, причому . Тоді, для будь якого великого числа М>0 маємо | |

Але це і означає, що - нескінченно велика величина.