13.5 Знаходження екстремуму за допомогою другої похідної.

Нехай - критична точка функції , тобто і в околі точки існує друга неперервна похідна, причому . Якщо , то – точка локального мінімуму; якщо , то - точка локального максимуму.

Приклад .

Знайти екстремуми функції

; - критичні точки

;

максимум

- мінімум.

13.6 Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Неперервна на відрізку [a;b] функція y=f(x) має на цьому відрізку найбільше (M) і найменше (m) значення. Ці значення функція приймає або в точках локального екстремумa в середині відрізку, або на його кінцях. Достатньо у вказаних точках обчислити значення функції та порівняти їх між собою. Так визначається найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Знаходимо ;

; .

Точка

Знайдемо

13.7 Опуклість і вгнутість кривих.

Точки перегину.

Крива y=f(x) називається опуклою на інтервалі, якщо всі її точки, крім точки дотику, лежать нижче її дотичної на цьому інтервалі.

Крива y=f(x) називається вгнутою на інтервалі , якщо всі її точки, крім точки дотику , лежать вище її довільної дотичної на цьому інтервалі .

Точкою перегину називається така точка кривої, яка відділяє її опуклу частину від вгнутої.

y

•

0 a b c x

Про напрям опуклості можна судити по знаку другої похідної

Якщо в усіх точках проміжку(a;b) , то крива y=f(x) опукла на (a;b); при то крива y=f(x) вгнута на (a;b).

Приклад.

Знайти інтервали опуклості і вгнутості та точки перегину кривої

, - критична точка другого роду .

Якщо -крива опукла.

Якщо - вгнута .

--- +

• X

0

y (0)=2. Точка (0;2)- точка перетину.

13.8.Асимптоти кривої.

Пряма L називається асимптотою кривої, якщо відстань б від змінної точки М кривої до цієї прямої прямує до нуля, коли точка М, рухаючись по кривій, віддаляється на нескінченність.

На рис. Показано вертикальну, горизонтальну та похилу асимптоти.

y L у L б б M б y=f(x) б M y=f(x) 0 a x 0 x

y y=f(x) M P N  0 Q x

Пряма х=а називається вертикальною асимптотою кривої y=f(x) , якщо при хоча б одна з односторонніх границь функції f(x) була нескінченною. Таким чином, вертикальна асимптота х = а існує тільки тоді, коли в точці х = а функція f(x) має нескінченний розрив.

Приклад.

Функція при х=0 має нескінченний розрив:

Тобто, х=0- вертикальна асимптота кривої

y y=f(x) 1 0 x

Припустимо, що у кривої y=f(x) при є похила асимптота. Як усяку похилу пряму, її можна записати рівнянням Y= kx + b. З рисунка MP = MN cosφ. По визначенню асимптоти при

Одночасно , тому якщо при пряма Y= kx+b є асимптотою, то

Так як , то

_{Якщо хоча б одна з границь не існує або нескінченна, це означає, що у кривої y=f(x) похилої асимптоти немає.}

_{Приклад.}

_{Знайти асимптоти кривої}

_{У точці х=0 функція має нескінченний розрив:}

, тобто х=0 – вертикальна асимптота. Знаходимо похилу асимптоту:

Обидві границі існують і скінченні, звідси при _{пряма Y= x+2- буде асимптотою кривої. При одержимо той самий результат.}

у=х+2 2 х=0 -2 0