13.2. Поняття екстремуму.

Неперервна функція y=f(x) досягає у точці максимуму, якщо для всіх із деякого околу цієї точки f(x)<f( ). У випадку оберненої нерівності f(x)>f( ) кажуть, що функція у точці має мінімум.

у y y=f(x) y=f(x) 0 x 0 x

Ці значення функції називають екстремумами: =y( ); =y( ). Окіл точки , де виконуються дані рівності, може бути дуже малим, тому екстремуми характеризують функцію локально. Тому ці значення функції називають локальними.

13.3. Необхідна умова екстремуму.

Якщо неперервна функція y=f(x) має в точці екстремум, то в цій точці похідна дорівнює нуля або не існує.

Дійсно, нехай диференційована функція y=f(x) досягає в точці максимуму. Тоді, повторюючи доведення теореми Ролля, отримаємо:

при Δx<0 , при Δx>0 , якщо

У випадку мінімуму – той самий результат.

Геометрично це означає, що дотична до графіка гладкої функції у точках, де досягається екстремум, паралельна вісі Ох.(див.рис.п.13.2).

Обернене невірно. Дотична може бути паралельна вісі Ох, а екстремуму нема.

Приклад на рис.1. в п. 13.1.

Отже, у точці, де диференціруєма функція y=f(x) має екстремум, похідна повинна дорівнюватися нулю (теорема Ферма).

Але екстремум може бути у точках, де похідної нема.

Y_max Y_min

x₀ x₀

Ці точки мають назву критичних.

13.4. Достатні умови екстремуму.

Нехай функція y=f(x) диференційована в околі своєї критичного точки . Якщо при переході через цю точку зліва на право похідна змінює знак з ”-” на ”-”, то в точці функція f(x) має максимум. Зміна знака ”-” на ”+” , то в точці функція f(x) має мінімум.

Тобто, зміни знака похідної при переході через критичну точку достатньою для того, щоб в цій точці неперервна функція y=f(x) мала екстремум.

Приклади.

Дослідити на екстремум:

1)

+ + - + Y‘ 0 1 3 Y

c)

d)

y 0 1 3 x

2. 

1. 

b) не існує при х=0, тобто х=0- критична точка.

+ 0 y x

c)

y 1 x