12.3 Теорема Лагранжа.

Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a; b], диференційована в інтервалі (a ; b) , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка c є (a; b), в якій f (b) – f (a) = f ′(c) (b-a) (1)

Доведемо теорему.

Доведення випливає з теореми Коші, достатньою покласти в основній залежності φ(x)=x.

Співвідношення (1) називають формулою скінченних приростів, оскільки вони виражають точне значення приросту функції ∆y=f(b) - f(a) через похідну в деякій точці с інтервалу (a ; b) і скінчене значення приросту аргументу ∆x = b-a.

(1′)

У формулі (1′) зліва записаний кутовий коефіцієнт хорди АВ (див.рис.), праворуч – кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y= f (x) при x=c.

Рівність кутових коефіцієнтів означає паралельність прямих.

y B f(b)-f(a) f(b) A b-a f(a) 0 a c b x

Тому геометрично теорема Лагранжа утверджує, що на гладкій дузі існує хоча б одна точка, в якій дотична паралельна хорді АВ.

12.4 Правило Лопіталя

Нехай

1) на відрізку [ a ;b] функції f(x) і φ(x) задовольняють умовам теореми Коші;

2) f(a)=0 і φ(a)=0

3) існує скінченна або нескінченна границя

Тоді існує також ,

причому = _.

Доведемо останню рівність.

Візьмемо довільну точку х є (a; b).

На відрізку [o; х] згідно теореми Коші має місто рівність , де a <c< x.

Оскільки f(a)=φ(a)=0, то співвідношення має вид .

Якщо x→a, то і c→0. В останній рівності перейдемо до границі

= .

Згідно умови існує, і не залежить від засобу прямування x→a.

Тому = .

Звідси і одержимо, що = .

Цю рівність називають правилом Лопіталя. За його допомогою розкривають невизначеності типу та , причому прямування х можна застосовувати, коли а=∞, тобто х→∞.

Приклади .

1)

2)

3)

4)

5)

=

§13. Застосування диференціального числення для дослідження функцій.

13.1. Зростання та спадання функції.

у y=f(x) y y=f(x) 0 а рис.1 b x 0 a рис.2 b x

Нехай неперервна та диференційована функція y=f(x) зростає у проміжку [a;b]. Дотична до графіка цієї функції утворює з віссю ох гострий кут, за випадком може окремих точок, в яких дотична паралельна вісі ох(рис.1)

_{При цьому коефіцієнт дотичної При цьому коефіцієнт дотичної}

При цьому коефіцієнт дотичної

Також кутовий коефіцієнт дотичної до графіка спадаючої функції (рис.2). Таким чином, знаючи знак похідної, , можна зробити висновок про поведінку функції f(x):

якщо в кожній точці проміжку (a;b) >0, то функція y=f(x) в цьому проміжку зростає, а при <0 – спадає.

Приклад.

Знайти інтервали зростання та спадання функції .

Ця функція диференційована на всій числовій осі.

Похідна у точках , котрі розбивають числову вісь на проміжки У кожному з цих інтервалів зберігає знак сталим, тому достатньо визначити знак в довільній точці інтервалу.

+ - + y 0 2 x