11.3 Властивості диференціала.

Згідно формули dy=y′dx диференціал dy відрізняється формально від похідної y′ тільки множником dx. Тому наведені нище властивості впливають із відповідних правил диференціювання суми, добутку та частки.

;

;

.

11.4 Інваріантність форми диференціала.

Нехай у-складена функція х, тобто у=у(u) та u=u(x). Припустімо, що обидві функції диференціюванні. Тоді, згідно правила диференціювання складеної функції одержимо:

Отже, і .

Обидва вирази по формі співпадають, хоч і мають різний зміст: х- незалежна змінна, u - функція від х.

Таким чином, форма диференціала не залежить від того, що приймається за аргументи при його находженні – незалежна змінна х чи функція u=u(x).

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмінністю) форми диференціала.

11.5 Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

Для малих ∆x приріст функції в ∆y=f(x+∆x) - f(x) можна наближено замінити диференціалом d y: ∆y≈ f ′(x)∆x

Маємо: f(x+∆x) =∆y+f(x)=f(x)+f ′(x)∆x

Зокрема, згідно цієї формули

Приклад

1)

2)

11.6 Диференціали вищих порядків .

Диференціалом dy=f ′(x)dx при фіксованому dx є деяка функція х. Може бути, що це функція також має диференціал. Це диференціал другого порядку;

та далі

11.7 Диференціювання функції, заданих в параметричній формі.

Відомо, що

Остаточно:

або

§12. Деякі теореми диференціального числення.

12.1 Теорема Ролля.

Якщо функція f (x) неперервна на відрізку a; b , диференційована в інтервалі ( а ; b) і на кінцях відрізка набуває однакових значень f (a) = f (b), то знайдеться хоча б одна точка c є (a; b), в якій f .

Доведемо теорему.

Оскільки f (x) неперервна на відрізку a; b , то вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого значення M і найменшого m. Якщо M=m, то f (x)=const і =0 в довільній точці x є a; b .

Нехай M ≠ m. Тоді хоча б одна з цих величин відмінна від f (a). Нехай M ≠ f (a). Тоді найбільше значення функція набуває у внутрішній точці C інтервалу ( a; b), тобто M= f (c) і a< c < b. В точці x = C надамо x приріст ∆x. Очевидно, що f (x+ ∆x) < f (c)=M.

Якщо ∆x<0, то

y

y=f(x)

x

0 a c-x c c+x b

Не дивлячись на те, що приріст ∆x може бути як додатнім, так і від’ємним, відповідний приріст функції не може бути додатнім.

f (c+∆x) – f (c) ≤ 0.

При ∆x>0 .

Для диференційованої функції f (x) при ∆x→0 обидва відношення прямують до однієї границі f ′(c). З першої нерівності випливає, що f ′ (c) ≥0, з другої →f ′ (c)≤ 0 . Це можливо, якщо f ′ (c)= 0.

При m ≠ f (a) – доведення таке саме.

12.2 Теорема Коші

Якщо функції f (x) і φ (x) неперервні на відрізку [ a; b] диференційовані в інтервалі (a; b), причому φ′ (x) ≠ 0, x є (a; b ), то існує така точка c є (a; b), що

Доведемо теорему.

Очевидно, що φ (a) ≠φ (b), так як у противному разі згідно теореми Ролля у проміжку ( a; b) знайшлась би точка, де похідна φ′ (x)=0, що виключено умовою.

Введемо допоміжну функцію, F (x)=f(x) - λ φ(x) і підберемо сталу λ таку, щоб функція F(x) задовольняла умовам теореми Ролля.

Для цього достатньо поставити вимогу до виконування рівності.

F(a)=F(b), тобто f(a) - λ φ(a)=f(b) – λ φ(b).

Звідси знайдемо :

До функції F(x) , де λ визначена одержаною формулою, застосуємо теорему Ролля : знайдеться точка x=c, a < c < b, така, що F′ ( c )= 0.

F′ (x) = f ′(x )- λ φ′ (x);

F′ (c) = f ′ (c) - λ φ′ (c);

або разом із знайденим значенням λ одержимо рівність, яку треба довести.