10.2 Похідні вищих порядків неявно заданої функції.
Нехай функція y= f (x) задана неявно рівністю F (x, y) = 0. Диференцюючи цю рівність по x і розв’язуючи одержане рівняння відносно y′, знайдемо першу похідну.
Щоб знайти другу похідну , потрібно продиференціювати по x першу похідну і в одержане співвідношення підставити її значення. Продовжуючи диференціювання, можна знайти одну за одною послідовно похідні будь - якого порядку. Всі вони будуть виражені через незалежну зміну x і саму функцію y.
Приклад.
Знайти
y′′
, якщо
10.3 Диференціювання функцій, заданих у параметричній формі.
Нехай функція y від x задана у параметричній формі, тобто x=x(t) ; y=y(t).
Похідну можна знайти, не знаючи явної залежності y від x.
Достатньо врахувати, що
Похідна є частка від ділення двох диференціалів;
Форма диференціалів 1-го порядку не залежить від вибору аргументу.
Одержимо
;
.
Відношення
цих величин дає :
=
Для
похідної
запишемо
=
Приклад.
§11 Диференціал функції.
11.1 Поняття диференціала.
Функція
y=f(x)
диференційована, якщо для неї існує
похідна
. При кожному фіксованому x
значення f
′(x)
є число , яке різниться від змінного
відношення
на нескінченно малу величину, тобто
разом c
∆x.
При
малих ∆х величина
є головною частиною приросту ∆у.
Другий
додаток – нескінченно мала вищого
порядку, ніж ∆х, тобто
Диференціалом dy функції y=f(x) в точці х називається головна, лінійна відносно ∆х, частина приросту функції f(x) в цій точці
dy=f ′(x)∆x
Якщо у=х, то у′=х′=1, тому dy=dx=∆x. Тому
dy=f ′(x)dx
11.2 Геометричний та механічний зміст диференціала.
Геометричний зміст диференціала зрозумілий з наступного малюнка.
-
y
P
y+Δy
•
• Q
Δy
α
dy
y
M
N
y=f(x)
A
α
x
x x+Δx
Маємо
Отже, диференціал функції f(x) при заданих значеннях х і ∆х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої y=f(x) в точці х.
Приріст функції ∆y при цьому дорівнює приросту ординати кривої.
Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичної AQ.
Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значень ∆х.
З’ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S=f(t).
Тоді диференціал цієї функції ds=f ′(t)∆t при фіксованих значеннях t і ∆t – це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час ∆t , якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно із сталою швидкістю v=f ′(t)