§ 9. Основні правила диференціювання.

9.1. Правила диференціювання суми, різниці, добутку і частин.

Т.1. якщо функції u=u(x), v=v(x) диференційовані в точці х, сума, різниця, добуток і частка цих функцій (при ) також диференційовані в цій точці і справедливі такі формули:

Доведемо ці формули.

1)

2)

Якщо u=c=Const, то

3) Надамо х приріст Δх.

При C=Const

9.2. Похідна сталої

Y y=C=const

x₀ x₀+x x

9.3. Похідні тригонометричних функцій

Ці формули ми одержали в т.8.3.

Ці формули можна отримати диференціюючи частку

9.4. Похідна складної функції.

Нехай у- складна функція х, тобто y=y(u), a u=u(x), інакше y=y[u(x)]. Якщо х надамо приріст Δх, то функція u отримає приріст Δu, котре в свою чергу визве приріст функції y(u), який дорівнює Δy. Для неперервних функцій при

У припущенні, що маємо

Остаточно:

Приклад.

тобто

9.5. Похідна неявної функції.

Нехай неявна функція у(х) задана рівнянням F(x,y)=0.

Щоб продиференціювати неявно задану функцію, потрібно взяти похідну х від обох частин рівності, вважаючи у функцією від х, і одержане рівняння розв’язати відносно . Похідна неявної функції виражається через незалежну змінну х і саму функцію у.

Приклад.

9.6. Похідна оберненої функції.

Нехай y=f(x) i x=φ(y) – пара взаємно обернених функцій. Друга рівність задає неявно функцію y=f(x). Продиференцюємо цю рівність по х:

Звідси, якщо

Приклад.

Таким чином можна отримати похідні інших обернених тригонометричних функцій.

9.7. Диференціювання степеневої і показникової функцій.

Розглянемо степенево - показникову функцію , де u=u(x) i v=v(x), причому . Прологарифмуємо її: lny = v lnu.

Тепер у є неявною функцією від х. Диференцюємо по х:

При v=α=const функція буде степеневою: похідна від неї буде:

При u=α=const, то функція буде показниковою: ;

При a=е, lna=lne=1 і

Приклад.

Підсумовуючи все наведене вище, наведемо основні формули диференціювання по х елементарних функцій аргумента х і деякі загальні правила.

Формули диференціювання по х основних елементарних функцій і загальні правила наведені у таблиці.

§10 Похідні вищих порядків .

10.1 Похідні вищих порядків явно заданої функції.

Нехай на ( a; b) задана диференційована функція y = f (x), тоді її похідна f ′(x), яку називатимемо ще першою похідною (або похідною першого порядку ), також є функцією від x. Може трапитися, що функція f ′(x) також має похідну на інтервалі (a; b) або в деякій точці x є (a; b ). Цю останню похідну називають другою похідною і позначають: y′′ ; f ′′ ( x), ; ( ).

Друга похідна має такий механічний зміст. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом S=f (t), то похідна S ′ дорівнює швидкості. Тоді S′′ = a - це прискорення.

Похідною n-го порядку функції y= f (x) називають першу похідну, якщо вона існує , від похідної (n-1) порядку :

′

Приклад.

Знайти четверту похідну функції.