§ 1. Дійсні числа.

1.1.Множини.

Всяку сукупність будь-яких об’єктів називають множиною, а самі об’єкти з даною сукупності – елементи множини.

Якщо елемент х належить множині Х, то пишуть х є Х. х є Х – елемент х не належить множині Х.

Множина, яка містить скінченну кількість елементів – скінченна:

Множина, яка містить нескінченну кількість елементів – нескінченна: .

Множина, яка не містить жодного елемента – порожня і позначається Ø.

1.2. Множина дійсних чисел.

У курсі вищої математики використовують множини, елементами якої є числа. Такі множини називають числовими:

-мн. натуральних чисел;

-мн. цілих невід’ємних чисел;

-мн. цілих чисел;

-мн. раціональних чисел;

R= - мн. дійсних чисел.

1.3. Числові проміжки.

Нехай a і b - дійсні числа, a<b. Розглянемо числові множини.

- відрізок

- півінтервал

- півінтервал

- інтервал

Все це скінченні проміжки

- нескінченні

1.4. Модуль дійсного числа

Модулем дійсного числа х називають число |x|, яке визначається за формулою

Геометрично число |x| визначає відстань від початку відліку 0 до точки, відповідної числу х на числовій осі.

|x| < ε

-ε 0 ε

Нехай - довільне число. Околом точки називають будь-який інтервал, що містить цю точку.

Інтервал , де >0, називають - околом точки , причому точку називають центром, а число - радіусом околу.

Зокрема, - окіл точки залишається у вигляді .

§ 2.Функція.

2.1. Функція. Найпростіші властивості функції.

Якщо кожному числу з деякої множини D за певним правилом поставлене у відповідність єдине число Y, то Y є функцією від і позначається y=f(x), x є D.

Змінна - незалежна змінна, або аргумент, у-залежна змінна, або функція.

1) Множина D значень аргументу, для яких функція у=f(x) має дійсний зміст, є областю визначення цієї функції.

Множина Е всіх значень Y, таких, що y=f(x) для кожного х є D, є множиною значень функції.

2) Функція є парною, якщо f(-x)=f(x), x є D і непарною, якщо f(-x)=-f(x), x є D.

3) Функція f(x), яка визначена на всій числовій прямій є періодичною,

якщо f(x+T) = f(x). Число Т- період функції.

4) Якщо функція f(x) визначена на множині D і для двох довільних різних значень аргументу з цієї множини при умові , маємо:

а) - ф-ія зростаюча;

б) - ф-ія спадаюча;

в) - ф-ія не спадаюча;

г) - ф-ія не зростаюча.

Всі ці функції називаються монотонними на цій множині.

5) Якщо рівняння F(x,y)=0, яке не розв’язане відносно Y, визначає Y як функцію х, то Y є наявною функцією.

6) Нехай y=f(x) – монотонна на відрізку [a,b] функція. Тоді кожному х є [a;b] відповідає одне у є [c;d] і оберемо: кожному у є [c;d] відповідає одно х є [a;b]. Таким чином х можемо розглядати як функцію аргумента y: . В цьому випадку функції y=f(x) і називають взаємно оберненими.

До таких функцій належать .

2.2. Способи завдання функцій

Основні способи завдання функцій: аналітичний, графічний і табличний.

1) Відповідність між аргументом і функцією задається формулою.

2) Відповідність між змінними х та у задається графіком-множиною точок (x;y) площини, прямокутні координати яких задовольняють рівність y=f(x).

3) Відповідність між змінними х та у задається у вигляді таблиці.

Класифікація елементарних функцій

1. Основні елементарні ф-ії та їх графіки.

2. Обмежені функції.

3. Монотонні функції.

4. Парні і не парні функції.

5. Періодичні функції.

6. Неявно задані функції.

7. Обернені функції.

8. Параметрично задані функції.

Графіки елементарних ф-ій.

1. Лінійна ф-ія а) прямо пропорційна залежність

у=2х

у=х

х є R

у є R

2. Обернена пропорційність.

3. Квадратична функція

x є R

у є R

4. Степенева

n>0