18)Необходимое условие интегрируемости.

Теорема(необходимое условие интегрируемости)

Если функция   — интегрируема на  , то она ограничена на  .

Доказательство

  Пусть  .Тогда,по определению:   —разбиения: как только, где    - разбиение  ;  =max  — ранг разбиения;  ;   — набор промежуточных точек,  .

Выберем  ( так как   — любое положительное) и обозначиминтегральную сумму   через  . Тогда .

Предположим, что    не ограничена на  , и зафиксируемразбиение   этого отрезка. В силу неограниченности функции    на всём отрезке   она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков  . Пусть для определённости это будет  . Теперь фиксируем промежуточные точки, начиная с   (т.е.  ).Таким образом зафиксированная сумма будет иметь вполне определённое значение. Получим:

 , где A — некоторое число.

      Разделим полученное неравенство на 

А это означает, что   — ограничена на  , что противоречит предположению. Следовательно, функция    ограничена на  . 

19)Суммы Дарбу и их свойства.

Определение

 - верхняя сумма Дарбу

 - нижняя сумма Дарбу

Свойство 1. 

Для любой выборки   и разбиения  справедливы неравенства:  .

Свойство 2.

При T — фиксированном, справедливы равенства:   

Свойство 3.

Если разбиение   - продолжение разбиения  , то   , то есть при дроблении отрезка нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Свойство 4.

Для любых разбиений   и   справедливо неравенство  .

20)Интегрируемость непрерывной функции.

Теорема 1. Если функция   непрерывна на отрезке   то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. По теореме Кантора функция   равномерно непрерывна на  . Это означает, что для любого   найдется такое  , что для любых точек  , таких, что  , справедливо неравенство  . Отсюда следует, что для любого разбиения , диаметр которого  , справедливо неравенство ,  . Поэтому

, если только  . Таким образом, выполнено условие критерия интегрируемости в терминах колебаний и тем самым теорема доказана. 

21)Свойства определенного интеграла.

1. Для функции y = f(x), определенной при x = a, справедливо равенство  .

2. Для интегрируемой на отрезке [a; b] функции выполняется  .

3.  для интегрируемых на отрезке [a; b]функций y = f(x) и y = g(x).

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. То есть, для интегрируемой на отрезке [a; b] функции y = f(x) и произвольного числа k справедливо равенство  .

5. Пусть функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем   и  , тогда  .

6. Если функция y = f(x) интегрируема на отрезке [a; b] и   для любого значения аргумента  , то  .

22)Теорема о среднем.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], тогда  .

1. По свойству функции, непрерывной на отрезке,  , такие что  .

2. По свойству определённого интеграла  , следовательно