23)Свойство интеграла с переменным верхним пределом.

Пусть   интегрируема на  . Тогда на   определена функция

называемая интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1. Пусть   интегрируема на  . Тогда функция   непрерывна на  .

Теорема 2. Пусть функция   интегрируема на   и непрерывна в точке  . Тогда функция   имеет производную в точке   и

Теорема 3.Пусть функция   непрерывна на  . Тогда она имеет на   первообразную

, где  .

24)Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то

25)Формула замены переменной в определенном интеграле.

   Теорема 3.14   Пусть функция   непрерывна на отрезке   , а функция   имеет непрерывную производную   на отрезке   , причём все значения   при   принадлежат отрезку   , в том числе   и   . Тогда имеет место равенство

26)Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

 Теорема 2. Если u(x) и v(x) - две функции, заданные на промежутке [a, b] и имеющие там непрерывные производные, то

     (24)

     Формула (24) есть формула интегрирования по частям для определенных интегралов.

     Доказательство очень просто. Именно,

     Так как по формуле интегрирования по частям будет

то

откуда и следует (24).

27)Понятие несобственного интеграла первого рода.

 Пусть f(x) задана на бесконечном промежутке   и для всякого   существует интеграл  Предел   называется несобственным интегралом первого рода (интегралом по неограниченному промежутку) и обозначается   Если   существует и конечен, то несобственный интеграл первого рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл первого рода называется расходящимся.

28)Понятие несобственного интеграла второго рода.

Пусть f(x) задана на полуинтервале [a,b) и   Пусть далее для всякого   существует интеграл   Предел   называется несобственным интегралом второго рода (интегралом от неограниченной функции) и обозначается   Если   существует и конечен, то несобственный интеграл второго рода называется сходящимся, если же он не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

29)Приближенное вычисление определенных интегралов.

Суть метода прямоугольников.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл  .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей   точками  . Внутри каждого отрезка   выберем точку  . Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения  , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла  .

формула метода трапеций:

30)Понятие квадрируемости плоской фигуры.

  Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь   этой фигуры совпадает с ее нижней площадью  . При этом число   называется площадью фигуры Q.

  Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых была бы меньше ε, S_d - S_i < ε.