12)Интегрирование иррациональных функций.

Пусть   — рациональная функция от   и  , т. е. функция, получаемая из   и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления).

Если заменить в   переменную   выражением  , то получим функцию   от одной переменной  . Интеграл от нее имеет вид:

Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки

В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно   функцию, то переменная   рационально выражается через переменную 

Тогда   — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной 

13)Вычисление интегралов ∫r(sinx; cosx)dx (универсальная тригонометрическая подстановка).

1.       Если функция R(sinx; cosx) – нечётная относительно sin x, то есть

 R( - sinx; cosx) = - R(sinx; cosx),

то подстановка cos x =  t, рационализирует интеграл;

2.      Если функция R(sinx; cosx) – нечётная относительно cos x, то есть

 R(sinx; - cosx) = - R(sinx; cosx),

то делается подстановка sin x = t;

3.      Если функция R(sinx; cosx) –чётная относительно sin x  и cos x, то есть

 R( - sinx; - cosx) = R(sinx; cosx),

то интеграл рационализируется подстановкой tg x = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

∫R(tg x)dx

14)Вычисление интегралов ∫R(sinx; cosx)dx (подстановка tgx=t, sinx=t, cosx=t).

15)вычисление интегралов

16)Тригонометрические подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка. Переход в подынтегральной функции к переменной   преобразует R(sin x, cos x) в функцию, рационально зависящую от t.Выразим sin x, cos x, dx через t:   (делим на 

)  ;   (делим на  )   .

В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие от t. 

17)Понятие определенного интеграла, его физический и геометрический смысл.

Определение:

Определенным интегралом от функции   на   называется предел интегральной суммы, построенной для функции   на   при неограниченном увеличении числа разбиений отрезка  на части и при стягивание каждого участка разбиения в точку, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка  на части, ни от выбора точки   на каждой из этих частей.

Площадь криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь э той трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками а=х₀, х₁, ..., b=х_n (х₀<x₁<...<x_n) paзобьем на n частичных отрезков [х_о;х₁], [х₁;х₂],...,[х_n-1;х_n]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [x_i-1;x_i] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(c_i).

Умножим значением функции ƒ(c_i) на  длину ∆x_i=x_i-x_i-1соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(c_i) • ∆x_i равно площади прямоугольника с основанием ∆x_i и высотой ƒ(c_i). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин Δх_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆x_i →0:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы F по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок [а; b] точками а = х₀, х₁, ..., b = х_n (х₀ < x₁ < ... < х_n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; x₁], [x₁; x₂],..., [x_n-1; x_n]. Сила, действующая на отрезке [x_i-1; x_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Δхi = х_i-x_i-1 достаточно мала, то сила F на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i  [x_i-1; x_i]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [x_i-1;x_i], равна произведению F(c_i)•Δх_i(Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [x_i-1; x_i].)

Приближенное значение работы А силы F на всем отрезке [а; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Δх_i Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (36.1) при условии, что наибольшая длина λ частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующей на отрезке [а; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезку [а; b].

В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t=а до t=b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса m неоднородного стержня на отрезке [a,b] равна определенному интегралу от плотности (х):