1)Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

Функция F (х) называется первообразной функцией для  данной функции f (х) (первообразной данной функции f (х)) на данном промежутке, если на этом промежутке  F’(x)=f(x)

Теорема 1. Если   и   — две  первообразные для функции f (х) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу. 

Неопределенным интегралом от функции f (х) называется совокупность(множество) всех первообразных данной функции.

Выражение F (х) + С, где F (х) —  первообразная функции f (х) и С — произвольная  постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается символом  , причем f (х) называется подынтегральной функцией.

Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна на [a ; b], то на этом отрезке для функции f (х) существует первообразная. 

2)Свойства первообразной функции.

• 1) ·  Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во:  ).

• 2) ·  Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F1(x) может быть представлена в виде F1(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.  Док-во. Так как функции F(x) и F1(x) - первообразные для f(x), то 

3) Для любой первообразной

F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

3)Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

4)Таблица неопределенных интегралов(с выводом).

5)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Функции   и   гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

6)Замена переменной в неопределенном интеграле.

Теорема (формула замены переменной в неопределенном интеграле): Пусть непрерывна на отрезке[а,b], а функция ϕ(t) определена на отрезке [α; β]→[a, b], тогда справедлива формула:

7)вычисление интегралов

8)Вычисление интегралов

9)Интегрирование простых рациональных дробей(1-3 тип)

Интегрирование простейших дробей первого типа 

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования: 

Интегрирование простейших дробей второго типа 

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Интегрирование простейших дробей третьего типа 

10)Интегрирование простых рациональных дробей(4 тип).

Интегрирование простейших дробей четвертого типа 

Первый шаг – подводим под знак дифференциала: 

Второй шаг – нахождение интеграла вида  . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула: 

11)Интегрирование рациональных дробей.

Для интегрирования рациональной функции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.