Билеті №5 Бір айнымалы функциялар.

1) Бір айнымалы функциялар. Аргументтің жеткілікті аз қателігінен пайда болған дифференциялданатын функциясының абсолют қателігі

(3.1)

шамасымен бағаланады.

Егер функциясының мәндері оң болса, онда салыстырмалы қателік үшін келесі бағалау орынды:

(3.2)

Дербес жағдайда негізгі элементар функциялар үшін келесідей ережелерді аламыз:

а) дәрежелі функциясы. Дәрежелі функцияның абсолют қателігі былайша анықталады:

(3.3)

Дәрежелі функцияның салыстырмалы қателігі:

(3.4)

б) көрсеткішті функциясы. Көрсеткішті функцияның абсолют қателігі:

(3.5)

Ал салыстырмалы қателігі:

(3.6)

Дербес жағдайда функциясыүшін

(3.7)

екеніне көз жеткіземіз.

в) логорифмдік функциясы. Санның натурал логарифмнің абсолют қателігі санның өзінің салыстырмалы қателігіне тең:

(3.8)

г) Тригонометриялық функциялар. Синус пен косинустың абсолют қателіктері аргументтің абсолют қателіктерінен аспайды:

, (3.9)

Тангенс пен котангенстің абсолют қателіктері барлық уақытта аргументтің қателігінен үлкен:

, (3.10)

Көп айнымалы функциялар.

2) Көп айнымалы функциялар. Аогументтердің жеткілікті аз қателіктері диференциялданатын функциясы үшін келесідегі абсолют қателікке әкеледі:

(3.11)

Егер функция мәндері оң болса, онда оның салыстырмалы қателігін былайша бағалауға болады:

Мысал: функциясының мәнін есептеңіз:

Шешімі: Аргументтердің салыстырмалы қателіктері:

, ,

Функцияның салыстырмалы қателігі:

функция мәні екі-үш таңбадан артық есептемеу керек:

Билеті №6 Түбірлерді бөліктеу.

1. Түбірлерді бөліктеу.

def 4.1. функциясының [a;b] анықталу облысына тиісті әрқайсысында (4.1) немесе (4.2) теңдеуінің тек бір ғана түбірі болатын аралықтарына жекелеу теңдеудің түбірлерін бөліктеу деп аталады.

Егер теңдеудің түбірі және болса, онда

болғандықтан бұл аралықтың шекараларын түбірдің ізделінетін мәнінің -ге дейінгі дәлдікпен алынған бастапқы жуықтауы ретінде алуға болады (сол жақ шекарасы кемімен, оң жақ шекарасы артығымен). Әдетте түбірлерді бөліктеу үшін функцияның графигін пайдаланады. Ол үшін, (4.1) теңдеудің сол жағындағы функцияның немесе (4.2) теңдеу үшін және функцияларының [a;b] аралығында графиктерін тұрғызамыз. Бірінші жағдайда функциясының графигінің абсцисса осімен қиылысу нүктесі, екінші жағдайда және функцияларының графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары сәйкес (4.1) және (4.2) теңдеулерінің жуық мәндерін береді.

Түбірлерді айырғанда көбіне үзіліссіз және диференциялданатын функциялардың қасиеттерін пайдаланады:

1. Егер [a;b] кесіндінің ұштарында функциясыны таңбалары қарама-қарсы болсын:

,

онда бұл аралықта теңдеудің түбірлерінің саны тақ болады, ал егер бірдей таңба қабылдаса:

,

онда түбірлерінің саны жұп немесе мүлде түбірі болмайды.

2. Егер және немесе туындылары осы [a;b] аралығында таңбасын өзгертпесе, онда бұл аралықта теңдеудің бір ғана түбірі болады.

Мысал: теңдеуінің түбірлерін бөліктеңіз.

1)

Х
3	-2
2	-3
1	-2
1 2 3 4 0	1
-1	6
...	...

[0;1], [3;4]

2)

X
3	9	11
2	4	7
1	1	3
0	0	-1
-1	1	-5
-2	4	-9
-3	9	-13