Екінші Ньютон интерполяциялық формуласы

Екінші Ньютон интерполяциялық формуласы. Егер аргументтің мәні интерполяция аралығының аяқ жағында орналасса, онда бірінші интерполяциялық формуланы қолдану тиімсіз болып саналады. Бұл жағдайда келесі түрде ізделетін артқа қарай интерполяциялау формуласы екінші Ньютон интерполяциялық формуласы қолданылады:

(14.7)

Бірінші Ньютон формуласы сенімді мұнда да коэффиценттерінің мәндері функция мен интерполяциялық көпмүшеліктің түйіндерде бірдей мән қабылдау шартымен анықталады:

(14.8)

(14.8)-ні (14.7)-ға қойсақ, екінші Ньютон интерполяциялық көпмүшеліктің соңғы өрнегін аламыз:

Билет №16 Эйткен схемасы

Эйткен схемасы. Белгілі кезіндегі көпмүшелігінің мәнін есептеуді келесідей схемамен жүргізген де ыңғайлы:

,

, (15.7)

және т.с.с.

көпмүшеліктері есептелінеді. Онда нүктелерде мәндерін қабылдайтын -ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келесі түрде жазылады:

Есептеулер нәтижелерін кестеге орнықтырамыз:

xi	yi	xi –x	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i	……
x0 x1 x2 x3 x4	y0 y1 y2 y3 y4	x0 –x x1 –x x2 –x x3 –x x4 –x	L01(x) L12(x) L23(x) L34(x)	L012(x) L123(x) L1234(x)	L0123(x) L01234(x)	…… ……

Эйткен схемасы бойынша есептеулерді әдетте тізбектелген және мәндері берілген дәлдік бойынша болғанға дейін жүргізіледі.

Гаусс, Стирлинг және Бессель интерполяциялық формулалары

Гаусс, Стирлинг және Бессель интерполяциялық формулалары.

Гаусс интерполяциялық формулалары. Бірінші Гаусс интерполяциялық формуласын (алға қарай интерполяциялау ) жазайық:

(15.8)

мұндағы

айырымдары төмендегі айырымдар кестесінде төменгі қисықты құрайтынын байқаймыз:

x	y	∆y	∆2y	∆3y	∆4y	∆5y	∆6y	∆7y	∆8y
x-4 x-3 x-2 x-1 x0 x1 x2 x3 x4	y-4 y-3 y-2 y-1 y0 y1 y2 y3 y4	∆ y-4 ∆ y-3 ∆ y-2 ∆ y-1 ∆ y0 ∆ y1 ∆ y2 ∆ y3	∆2y-4 ∆2y-3 ∆2y-2 ∆2y-1 ∆2y0 ∆2y1 ∆2y2	∆3y-4 ∆3y-3 ∆3y-2 ∆3y-1 ∆3y0 ∆3y1	∆4y-4 ∆4y-3 ∆4y-2 ∆4y-1 ∆4y0	∆5y-4 ∆5y-3 ∆5y-2 ∆5y-1	∆6y-4 ∆6y-3 ∆6y-2	∆7y-4 ∆7y-3	∆8y-4

Екінші Гаусс интерполяциялық формуласы (артқа қарай интерполяциялау) келесі түрде жазылады:

(15.9)

мұндағы . Бұл формуладағы айырымдары

жоғарыда келтірген кестеде жоғарғы қисықты құрайды. (15.8) және (15.9) формулаларының қалдық мүшесі былай анықталады:

(15.10)

Мұндағы -барлық -түйіндері (i=0, 1, 2,… n) кіретін және х нүктесі жататын аралықтағы ішкі нүкте.

Гаусс формулалары кестенің ортасында, яғни х₀ түйінінің аймағында интерполяциялау үшін қолданылады. Дәлірек айтсақ бірінші Гаусс формуласы х >х₀ кезінде, ал екінші Гаусс формуласы х<х₀ кезінде қолданылады.