Түбірлерді дәлдеу.

2) Түбірлерді дәлдеу.

Def 4.2. Бірінші кезеңде жекеленген аралықтағы теңдеудің түбірі үшін қабылданған бастапқы жуықтауда берілген  дәлдіктің дәрежесіне дейін жеткізуді түбірді дәлдеу деп атайды, ал пайдаланылатын сандық әдіс итерциялық немесе біртіндеп жуықтау әдісі деп аталады.

Def 4.3. Егер біртіндеп жуықтауда табылған мәндері бірте-бірте түбірдің дәл мәніне жуықтай түссе, онда итерациялық процесс жинақты деп, ал кері жағдайда жинақсыз деп аталады.

Итерациялық әдіспен түбірдің берілген дәлдіктегі жуық мәнін табу үшін бастапқы жуықтау мәні және қажетті дәлдік  берілуі керек. Итерациялық процестің аяқталу шарты:

,

Билеті №7

Кесіндіні қақ бөлу әдісі.

Кесіндіні қақ бөлу әдісі. (4.1) теңдеуінің [a;b] аралығында жалғыз ғана шешімі бар және осы аралықта үздіксіз болсын, [a;b] кесіндісін нүктесі арқылы қақ бөлеміз. Егер болса, онда төмендегі жағдайлар болуы мүмкін:

1) F(x) түріндегі функция [a;с] кесіндісінің ұштарында таңбасын өзгертеді.

2)F(x) түріндегі функция [a;b] кесіндісінің ұштарында таңбасын өзгертеді.

Осы процесті жалғастыра отырып, өте аз аралыққа жақындаймыз. Яғни, түбірді -дәлдікпен ізделінгентіктен процесс осы аралықтың ұзындығы -нан кіші болғанға дейін жалғастырылады. Түбір ретінде соңғы қақ бөлу нүктесі алынады.

Мысал: теңдеуінің түбірін [0;1] аралығында кесіндіні қақ бөлу әдісін пайдаланып, =0,025 дәлдікпен табыңыз.

[0.5;1] аралығы алынды

аралығы алынады.

аралығы алынады.

аралығы алынады.

аралығы алынады.

арқылы шығады.

Хорда әдісінің схемасы

Бұл әдістің идеясы [a;b] кесіндісінде F(x) функциясын абсциссалары кесіндінің ұштары А=a және B=b болатын функцияның графигінің нүктелерін қосатын хордамен аппроксимациялау (жуықтау) (төмендегі суретті қара):

II

A

bI

B

x

y

x1 x2

b

B

x

y

I

a

a

A

y

x

A

B

b

III

y

B

x

b

A

IV

a

a

Хорданың абсцисса осьмен қиылысу нүктесі теңдеудің ізделінуі түбірдің бірінші жуық мәні болып табылады. A(a;F(a)) және B(b;F(b)) нүктелерімен өтетін хорданың теңдеуі.

немесе

(5.1)

Бұл өрнектің оң жағын арқылы белгілеп мына түрде жазуға болады:

Хорданың теңдеуінде у=0 болғанда оның осьімен қиылысу нүктесінің абсциссасын табамыз:

(5.2)

F(x) функциясы [a;b] аралығында үзіліссіз, монотонды өспелі және болғандықтан . Міне, осылай хорда әдісі үшін итерациялық

(5.3)

формуласын табамыз. Мұндай сандық тізбектің шегі (4.1) теңдеудің түбіріне жинақталады. Шынында да, анық болу үшін делік. Онда функциясы монотонды өспелі және оның графигі ойыс болады. Бұдан, графиктің ұштарын қосатын хорданың ішкі нүктелері графиктің сәйкес нүктелерінен жоғары орналасады:

, (5.4)

Егер, теңдеудің түбірі болса, яғни , бұдан екені шығады. Ал (5.2) және (5.3) теңдіктерден алатынымыз:

,

Сонымен,

(5.5)

Бірақ сызықты функциясы монотонды өспелі, себебі кесіндінің ұштарында сызықтан (5.5) формуладан теңсіздігі шығады. Әрі қарай, [a;b] кесіндісін кесіндісімен алмастырып және екенін ескеріп жоғарыдағыдай тәсілмен екенін анықтаймыз. Осылайша индукция бойынша екені белгілі. Сонымен тізбегі монотонды өспелі және жоғарыдан шектелген, демек, ол жинақты. Оның шегін деп (5.3) теңдіктен шекке көшіп яғни тізбектің шегі (4.1) теңдеудің түбірі екенін көреміз.

Дәл осылайша басқа жағдайларды да қарастыруға болады.

(функция өспелі, графигі дөңес),

(функция кемімелі, графигі ойыс),

(функция кемімелі, графигі дөңес),

Әрбір итерациядан кейін кесіндінің ұштары қысқарады. Үзіліссіз және дифференциялданатын функцияның қасиеттеріне байланысты әрбір рет функция қарама-қарсы таңба қабылдайтын бөлігі қалады. Егер және бірдей таңба қабылдаса, яғни (І және IV жағдайлар), онда кесіндінің оң жақ ұшы x=b қозғалмайды және деп алынады. Кері жағдайда, яғни болса (ІІ және III жағдайлар), онда сол жақ ұшы x=a қозғалмайды және деп алынады.