Билеті №9 Жай итерация әдісінің негізгі ұғымы
Бұл әдістің алгоритмі былай орындалады: (4.1) теңдеуді
(8.1)
түріне
келтіреміз. Мұндай түрлендіруді әртүрлі
тәсілдермен орындауға болады. Айталық,
(8.1) теңдеудің түбірінің алғашқы жуық
мәні
болсын. Онда келесі жуықтау үшін
,
ал мұнан кейінгі жуықтау
.
Осы процесті жалғастырып, k-
жуықтау үшін:
,
(8.2)
қабылдаймыз. Итерациялық процесті
k=1,2,3...,n,...
шарты
орындалғанша жалғастырамыз. Бұл әдісті
пайдаланғанда негізгі мәселе: жуық
мәндер
тізбегі k-ның
мәні өскенде (8.1) теңдеудің
шешіміне жинақтала ма, жоқ па? Енді осы
жай итерация әдісінің жинақтылығының
жеткілікті жеткілікті шартын қарастырамыз.
Тһ 8.1 (Жинақтылықтың жеткілікті шарты). Егер [a;b] аралығында анықталған, үзіліссіз және үзіліссіз туындысы функциясы үшін:
, 
(8.3)
шарты
орындалса, онда
,
яғни итерациялық процесс жинақты,
әйтпесе
процесс жинақсыз.
Дәлелдеуі:
Егер х=c
теңдеудің түбірінің дәл мәні
,
ал k-жуықтау
болса, онда:
немесе
Бұл
өрнекте орта мән туралы теореманы
(ақырлы өсімшелер туралы Лaгранж
теоремасы:
),
қолданып төмендегі теңдікті аламыз:
,
мұндағы
.
функциясы
үзіліссіз және дифференциaлданатын
функция болғандықтан ол осы аралықта
максимум мәнін қабылдайды.
болсын. Онда
болады. Осы тәсілмен біртіндеп төмендегі
өрнектерді аламыз:
Бұдан мынадай нәтиже шығады:
Егер
бүкіл интервалда М<1 болса, онда k
өскенде
мәніне тәуелсіз теңсіздіктің оң жағы
кеми бастайды және белгілі бір
-нөмірден
бастап берілген
-нан
кем шама болады:
Демек, { } тізбегі x=c-ға (түбірдің дәл мәніне) жинақталады. Бұл жағдайда жинақтылықың үш түрін айырып жазуға болады:
болса, “жақсы” жинақтылық.
2.
болса, “орташа” жинақтылық.
3.
болса,
“нашар” жинақтылық.
Жай итерацияның графикалық мағынасы
Енді
процесстің геометриялық мағынасын
қарастырамыз. (8.1) теңдікті шешкенде
қисығы мен
түзуінің қиылысу нүктесі ізделінеді.
қисығы
8.1а – суретте көрсетілгендей түрде
болсын
.
Бастапқыда қандай-да бір алғашқы жуық
-мәнін
береміз. Сонда
болады.
болғандықтан,
мәнін былай табуға болады:
нүктесі арқылы горизонталь
бағытта
түзіуімен
нүктесінде қиылысқанша түзу жүргіземіз.
Содан кейін
нүктесінің
деп
функциясының ординатасы
табамыз. Міне, осылай итерацияны берілген
дәлдікке жеткенше жалғастырамыз.
Суреттен
тізбегінің
нүктесіне жинақталатыны байқалады.
жағдайы 8.1б – суретте көрсетілген. Бұл
жағдайда жуық мәндер тізбегі
нүктесіне жинақталатыны байқалады.
Бірақ, мұнда келесі жуықтау мен алдыңғы
жуықтау
нүктесінің қарама-қарсы жағында болады.
Ал функцияның туындысы 1-ден үлкен
(8.1в) және –1-ден кіші (8.1г) жағдайларда
бұл әдіс жинақсыз екені көрініп тұр.
Мысал
теңдеуінің түбірінің жуық мәнін жай
итерация әдісімен
дәлдікпен есептейміз.
Шешуі:
F(1)=-18<0,
F(3)=10>0
функциясы [1;3] кесіндісінің ұштарында
қарама-қарсы таңбалы мәндер қабылдайды.
Теңдеуді әртүрлі әдіспен
түріне келтіруге болады.
1)
яғни жай итерация әдісі қолдануға жарамайды.
жай итерация әдісі қолдануға жарамайды.
жай итерацияны қолдануға болады.
Теңдеуді жай итерациялық әдісті пайдалануға ыңғайлы түрге келтірудің кейбір тәсілдерін келтірейік.
1-тәсіл.
теңдеуін қандай да бір жолмен
түріне келтірілген және мұндағы
болсын. Онда
функциясына кері
функиясын қарастырамыз. Мұнда у пен
х-тің орындарын алмастырсақ
функциясы үшін:
2-тәсіл.
теңдеуі
түріне түрлендіріледі, мұндағы
-нольге
тең емес константа. Дифференциялдасақ:
.
болуы
үшін
-ді
.
теңсіздігі орындалатындай етіп таңдау
жеткілікті.