Пример выполнения

Передаточная функция разомкнутой цепи

. (41)

Характеристическое уравнение

(42)

имеет два нулевых корня

и один отрицательный действительный

,

следовательно, разомкнутая система является неустойчивой.

Функция Михайлова для разомкнутой системы соответственно равна

. (43)

Для построения графика функции (годографа Михайлова)

_{зададим начальные значения, функцию, пределы и шаг изменения частоты:}

,

.

Вид годографа функции Михайлова показан на рис. 29.

Анализ годографа показывает, что характеристическое уравнение 42не имеет правых корней, так как годограф уходит в бесконечность в третьей четверти, но поскольку он проходит через начало координат (начинается в начале координат), имеются нулевые корни.

Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью для равна

, ₍₄₄₎

а функция Михайлова для замкнутой системы имеет вид

. (45)

Рис. 29. Годограф функции Михайлова для разомкнутой системы

При Ko:=1, Kn:=3, и различных Ki, соответствующих устойчивому ( ), граничному ( ) и неустойчивому ( ) состояниям, годографы функции Михайлова показан на рис. 30.

Рис. 30. Годографы функции Михайлова замкнутой системы для различных

Если действительная и мнимая части функции (45)одновременно обращаются в 0 и замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.

При действительная часть функции Михайлова изменит знак быстрее нежели мнимая и годограф Михайлова пройдет слева от начала координат, что соответствует по критерию Михайлова устойчивой системе.

При годограф Михайлова пройдет справа от начала координат и система будет неустойчивой.

Для анализа устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста следует построить частотную характеристику разомкнутой системы и, поскольку, она имеет разрыв на нулевой частоте (разомкнутая цепь содержит два интегрирующих звена), дополнить годограф полуокружностью, начинающейся на положительной действительной полуоси и проходящей по часовой стрелке до пересечения с годографом.

Частотная характеристика разомкнутой системы описывается выражением

.

Выделим действительную и мнимую части:

,

.

Графики частотной характеристики разомкнутой системы для различных Ki показаны на рис. 31.

Поскольку характеристическое уравнение разомкнутой системы не содержит правых корней и, в соответствии с критерием Найквиста, годограф функции W(j) при совместно с дополняющей окружностью, как не охватывающий точку с координатами (-1, j0), соответствует устойчивой замкнутой системе.

Рис. 31. АФЧХ разомкнутой системы при различных Ki

Годограф функции W(j) при соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, годограф функции W(j) при - неустойчивой системе.

Условие попадания системы на границу устойчивости тождественно условию прохождения годографа через точку (-1, j0) или существованию решения системы уравнений:

ReW()=-1,

ImW()=0.

Для частотной характеристики (41) эта система после преобразования дает решение вида . Это означает, что при , не зависимо от частоты, мнимая часть превращается в 0, а действительная проходит по отрицательной полуоси абсцисс и график частотной характеристики попадает в точку (-1, j0).

Логарифмические частотные характеристики определяются выражениями:

^,

^,

^.

Графики ЛАХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивому, граничному и неустойчивому состояниям замкнутой системы приведены на рис. 32, 33. Как следует из графиков, для Ki=2 значение фазы на частоте среза ЛАХ больше -, для Ki=15=Kn/T₁ – фаза равна -, а для Ki=25 – фаза меньше -. Соответственно в первом случае замкнутая система будет устойчивой, во втором – находиться на границе устойчивости, в третьем – неустойчивой.

Рис. 32. Логарифмические амплитудные характеристики

Рис. 33. Логарифмические фазовые характеристики