Лабораторная работа № 5 исследование частотных xарактеристик элементарных звеньев и соединений звеньев

Цель работы: получение навыков по построению частотных характеристик и исследованию влияния параметров звеньев на характер и показатели частотных характеристик.

Порядок выполнения работы

1. Для звеньев или соединений звеньев, заданных передаточными функциями:

, (27)

, (28)

, (29)

, (30)

, (31)

, (32)

, (33)

, (34)

построить АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАХ при различных значениях параметров.

2. Для заданной преподавателем передаточной функции промоделировать прохождение через исследуемый объект гармонического сигнала с различной частотой.

Теоретические сведения

Амплитудно-фазовой (частотной) характеристикой (АФЧХ) называется функция W(j), определяющая изменение амплитуды и фазы выходной величины системы или ее отдельного элемента в установившемся режиме при приложении на входе гармонического воздействия. АФЧХ можно определить как преобразование Фурье весовой функции объекта или системы:

,

либо формальным переходом от передаточной функции W(s) при замене s на j. Для , где и - многочлены m-й и n-й степеней от s, частотная характеристика будет равна

. (35)

Освобождаясь от мнимого числа в знаменателе, путем домножения на комплексно сопряженную знаменателю функцию получаем

,

где R(), I() – вещественная и мнимая части частотной функции системы.

.

Представляя комплексные функции числителя и знаменателя (35) в показательной форме, можно записать:

,

или

где и – модули комплексных функций числителя и знаменателя частотной характеристики,

_B(), _D() – соответственно фазы комплексных функций числителя и знаменателя,

А() – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), равная

,

() – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),

.

Если рассматривать прохождение гармонического сигнала через линейный объект, то при сохраняющейся частоте сигнала амплитудно-частотная характеристика также определяется как зависимость отношения амплитуды выходного гармонического сигнала в установившемся режиме к амплитуде входного сигнала от частоты сигнала. Соответственно, фазовая частотная характеристика есть зависимость смещения по фазе выходного гармонического сигнала относительно входного от частоты сигнала.

В Mathcad для выделения значения фазы предусмотрена функция arg( ):

,

либо функция atan, определяющие значения фазы только в пределах от - до +. Если фаза выходит за пределы (-,+), ее необходимо скорректировать с учетом знаков действительной и мнимой частей АФЧХ.

Графически амплитудно-фазовая частотная характеристика изображается на комплексной плоскости в полярных координатах (А, ) как годограф функции W(j). Можно построить амплитудно-частотную характеристику и в прямоугольных координатах (Im[W(j)], Re[W(j)]). При этом частоту  изменяют от 0 до .

Логарифмические частотные характеристики используются при исследовании систем автоматического управления с помощью частотных методов и представляют собой логарифмическую амплитудную и логарифмическую фазовую характеристики. Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАХ) называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля частотной характеристики системы, построенная в логарифмической координатной сетке: логарифм амплитуды – логарифм частоты (или частота, отложенная в декадах):

, (36)

где – логарифм частоты.

При построении логарифмической амплитудной характеристики по оси ординат откладывают величину , единицей измерения для которой является децибел. По оси абсцисс – логарифм частоты . Равномерной единицей на оси абсцисс является декада – отрезок, на котором значение частоты увеличивается в 10 раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс называется частотой среза амплитудной характеристики _с.

Значению А() = 1 исходя из (36) соответствует , в этом случае ЛАХ проходит по оси абсцисс. Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А() > 1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость – значениям А() < 1 (ослабление амплитуды).

При построении логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ) отсчет углов () идет по оси ординат в обычном масштабе в радианах либо градусах, а по оси абсцисс откладывается логарифм частоты или частота в декадах.

Логарифмические частотные характеристики удобны для анализа систем, образованных последовательным соединением элементарных звеньев (рис. 18), поскольку позволяют перейти от операции умножения модулей частотных характеристик элементарных звеньев к операции сложения их логарифмических амплитудных характеристик, что иллюстрируется следующими зависимостями:

,

,

.