5. Решение матричного уравнения с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра

Решим систему дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Задаем исходные данные:

.

Решение будем искать в виде:

.

Так как матрица А недиагональная, то значение e^At получим с помощью теоремы Лагранжа-Сильвестра. Для этого определяем собственные значения матрицы А – вектор l и задаем единичную матрицу:

.

Рассчитываем элементы фундаментальной матрицы

,

Находим значение подынтегрального выражения e^A(t-)Bu():

.

Находим решение системы дифференциальных уравнений:

_{Задаем интервал времени и строим графики функций x(t)1, x(t)2 .}

Контрольные вопросы

1. Как записать дифференциальное уравнение третьего порядка в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальном виде?

2. Как получить аналитическое решение дифференциального матричного уравнения?

3. Какие функции Mathcad используются для численного решения систем дифференциальных уравнений?

4. Как решить дифференциальное уравнение четвертого порядка с помощью функций rkfixed, rkadapt, bulstoer?

5. В чем отличия между функциями rkfixed, rkadapt, bulstoer?

6. Как решить дифференциальное матричное уравнение третьего порядка с помощью диагонализации матриц?

Задания

1. Динамическая система представлена дифференциальным уравнением второго порядка в виде

.

Коэффициенты уравнения заданы в табл. 7. Получить аналитическое решение.

Таблица 7

Вариант		Т1	Т2		Вариант	Т1	Т2
1		3.4	2.1	1.85	11	5.8	2.7	1.5
2		-2.8	1.4	6.71	12	-1.3	1.9	2.71
3		4.71	-3.38	3.18	13	0.78	-5.8	2.3
4	5.18		1.97	-0.92	14	4.2	7.1	-0.2
5	2.15		2.15	3.18	15	0.78	2.1	2.5
6	-6.44		3.17	7.06	16	-5.6	0.78	0.2
7	20.8		23.6	-12.1	17	0.45	0.12	0.1
8	12.1		-14.7	9.56	18	4.7	0.79	0.3
9	-4.8		4.8	2.7	19	0.34	0.81	0.1
10	3.1		3.1	4.1	20	0.48	0.16	0.7

2. Задана система:

.

Получить решение численным методом и построить графики. Исходные данные заданы в табл. 8.

Таблица 8

Вариант	a	b	c					u(t)
1	-2.1	-0.1	2.11	0.16	0.02	1.53	1.2	функция
2	-0.8	2.1	3.21	0.19	0.43	1.32	1.4	1(t)
3	1.5	-0.11	2.67	1.23	0.36	-3.54	3.2
4	4.3	-0.32	3.24	2.87	-3.17	-2.32	2.7
5	0.9	0.78	-1.18	-1.23	-2.41	-1.13	1.3
6	6.5	2.3	-1.32	-3.14	-1.32	3.26	-2.7
7	4.7	1.7	-3.21	-2.12	- 3.12	4.67	-3.5
8	5.6	2.3	4	-0.8	0	0	0.2	t-2
9	1.8	2.7	3	1.1	0.2	0.6	0.7	5
10	2.8	9.2	1.6	0.6	4.5	2.3	0.9	11

3. Задана система в виде

.

Получить решение методом диагонализации матриц и численным методом, построить графики. Исходные данные заданы в табл. 9.

Таблица 9

Вариант	А	B	x0
1
2
3
4
5
6
7

Продолжение табл. 9

Вариант	А	B	x0
8
9
10
11
12
13
14
15

Окончание табл. 9

Вариант	А	B	x0
16
17
18
19
20
21
22
23