Лабораторная работа № 4 исследование временных характеристик элементарных звеньев и соединений звеньев

Цель работы: получение навыков по построению временных характеристик и исследованию влияния параметров звеньев на характер и показатели временных характеристик.

Порядок выполнения работы

Для звеньев или соединений звеньев, заданных передаточными функциями:

, (20)

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

, (25)

, (26)

построить переходные и импульсные переходные процессы при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления

При построении временных характеристик воспользоваться приемлемым методом:

• обратным преобразованием Лапласа выражения для определения соответствующей временной характеристики по известной передаточной функции для нулевых начальных условий;

• записью по передаточной функции дифференциального уравнения для искомой временной характеристики и его решению при соответствующих начальных условиях.

Теоретические сведения

Общие сведения о динамических характеристиках объектов управления и математическом описании объектов даны во всех учебниках по теории автоматического управления [4] - [9], ниже приведены только основные определения:

Переходный процесс – реакция объекта или системы на единичное ступенчатое воздействие, полученная при нулевых начальных условиях.

Единичная ступенчатая функция, подающаяся на вход звена, определяется как

Функция времени, которая описывает переходный процесс, называется переходной функцией и обозначается h(t).

Импульсным переходным процессом является реакция звена или системы на входное воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях. Соответствующее описание процесса носит название весовой функции и обозначается w(t).

Единичная импульсная функция (дельта-импульс), подающаяся на вход звена, обладает следующими свойствами:

, .

Зачастую -функцию определяют предельным переходом

.

В Mathcad имеются встроенные единичная ступенчатая и единичная импульсная функции, которые обозначаются соответственно: Ф(t) и Dirac(t).

Преобразование по Лапласу весовой функции называется передаточной функцией.

Передаточная функция определяется также как отношение изображений по Лапласу реакции звена Y(s) или системы и вызвавшего ее входного воздействия X(s) при нулевых начальных условиях

,

откуда временная характеристика может быть найдена:

.

Таким образом, для построения переходной и весовой функций необходимо предварительно найти изображения X(s) входных воздействий 1(t) и (t) соответственно. Их можно получить с помощью преобразований Лапласа:

,

.

Тогда переходной процесс может быть найден как:

,

а весовая функция получается обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции:

.

Связь между переходным процессом и весовой функцией описывается уравнением

.

Пример выполнения

1. Построение переходной и весовой функций идеального интегрирующего звена

Передаточная функция интегрирующего звена .

Переходной процесс находим обратным преобразованием Лапласа при :

^.

Присвоим полученный результат функции h(t), умножив его на единичную ступенчатую функцию Ф(t):

^,

что отражает условие физической реализуемости единичного ступенчатого воздействия на объект ( при t<0), позволяет формализовать операции с переходными и весовыми функциями, а также строить наглядные графики этих функций на временной оси с отрицательным участком.

Импульсная переходная характеристика звена имеет вид

^{, .}

Поскольку , то .

Построим графики переходной и весовой функций (рис. 15)

Рис. 15. Графики временных характеристик интегрирующего звена