2. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Записываем уравнение (1) в конечных разностях (Yi - индексированная переменная) с учетом конечно-разностных выражений для первой и второй производных выведенных выше:
.
Выражаем Yi, задаем значения коэффициентов и нулевые начальные условия:
.
Строим графики функций Yi, полученной методом конечных разностей, и y(t), полученной с помощью преобразований Лапласа (рис. 11).
Рис. 11. Графики решений
3. Решение дифференциального уравнения с помощью функции odesolve
Задаем значения коэффициентов:
.
Записываем блок решения уравнения по правилам, изложенным выше.
G
iven
.
Строим графики функций Yodes, полученной с помощью функции odesolve, и y(t), полученной с помощью преобразований Лапласа. Графические изображения решений уравнения, полученных тремя различными способами, должны совпасть.
Контрольные вопросы
1. Как записать аналитическое решение неоднородного уравнения первого порядка для различных правых частей?
2. Как записать аналитическое решение неоднородного уравнения второго порядка для различных правых частей и при различных типах корней характеристического уравнения?
3. Как получить решение дифференциального уравнения с помощью преобразований Лапласа (на примере конкретного уравнения)?
4. Как получить приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка одним из численных методов?
Задания
Решить уравнение, выданное преподавателем, с помощью преобразований Лапласа, методом Эйлера и с использованием функции odesolve.
1.
.
(2)
2.
.
(3)
3.
.
(4)
4.
.
(5)
В соответствии со своим вариантом правую часть уравнения – f(t) – взять из табл. 5, коэффициенты уравнения – из табл. 6.
Таблица 5
Вариант |
f(t) |
Вариант |
f(t) |
Вариант |
f(t) |
1 |
sin(2t) |
9 |
2t2-3t |
17 |
0,9 exp(3t) |
2 |
cos(5t) |
10 |
2 cos(t)-sin(t) |
18 |
0,15 t2 |
3 |
exp(-2t) |
11 |
4,9 t-2 |
19 |
4 exp(t) |
4 |
2t2-3 |
12 |
1,2 exp(-2t) |
20 |
3cos(2,5t) |
5 |
8,5 - t |
13 |
3,8 sin(0,2 t) |
21 |
6 exp(-2t) |
6 |
3,8t |
14 |
4,2 cos(3t) |
22 |
4,3 t-5 |
7 |
4 cos(0,2t) |
15 |
0,8 t-2 |
23 |
0,8 sin(2t) |
8 |
2exp(-5,6t) |
16 |
3,9 t2-2t |
24 |
4,9 t2 |
Таблица 6
Вариант |
T1 |
T2 |
k |
Вариант |
T1 |
T2 |
k |
1 |
0,5 |
0,8 |
1,2 |
13 |
0,56 |
0,98 |
1,4 |
2 |
1,18 |
5,94 |
0,87 |
14 |
0,14 |
2,37 |
1,67 |
3 |
0,14 |
0,12 |
0,01 |
15 |
8,63 |
4,9 |
0,87 |
4 |
11 |
5 |
3 |
16 |
7,9 |
0,45 |
4,68 |
5 |
0,85 |
0,68 |
0,23 |
17 |
1,54 |
0,82 |
2,38 |
6 |
4,23 |
4,87 |
3,56 |
18 |
2,18 |
7,54 |
0,9 |
7 |
0,15 |
0,18 |
1,67 |
19 |
0,43 |
0,59 |
1,24 |
8 |
0,58 |
0,97 |
0,45 |
20 |
3,1 |
2,47 |
6,71 |
9 |
5,74 |
5,61 |
3,28 |
21 |
1,86 |
0,79 |
1,14 |
10 |
0,45 |
0,78 |
0,25 |
22 |
1,37 |
2,145 |
2,56 |
11 |
1,42 |
1,78 |
2,64 |
23 |
3,71 |
1,15 |
4,57 |
12 |
0,84 |
1,27 |
0,47 |
24 |
2,43 |
3,47 |
5,11 |