- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А. Семинары по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология».
- •Тема 1: «Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».
- •Актуальность темы.
- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А.
- •Семинар 1
- •Элементы дифференциального исчисления.
- •Основные вопросы:
- •1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.
- •2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.
- •3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
- •Производные сложных функций.
- •4. Физический смысл производной. Градиент функции.
- •5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.
- •6.Графики производных функций
- •7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.
- •8.Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •9.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
- •2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
- •Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.
- •I. Непосредственное интегрирование.
- •II. Метод замены переменной (метод подстановки).
- •4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
- •5. Задания для самостоятельной работы.
- •2.Порядок обработки результатов прямых измерений.
- •3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.
- •4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
- •5.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
5. Задания для самостоятельной работы.
Докажите формулы, входящие в таблицу неопределенных интегралов (табл.1 семинара 2), используя свойства интеграла и таблицу производных (табл.1 семинара 1).
Найдите интегралы:
1) |
3) |
5) |
10) |
2) |
4) |
6) | |
7) |
8) |
9) |
Литература.
Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов,М: Высшая школа, 1983, 383стр.
Баврин И.И. Краткий курс высшей математики для химико-биологических и медицинских специальностей, М., Физматлит, 2003г., 326 стр.
Доцент Иванов А.А., доцент Инсарова Н.И., ст. преп. Шеламова М.А.
Семинар 3
Элементы теории ошибок (погрешностей).
Основные вопросы:
Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей).
Порядок обработки результатов прямых измерений.
Порядок обработки результатов косвенных измерений.
Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
Задания для самостоятельной работы.
Виды измерений физических величин и классификация возникающих при этом ошибок (погрешностей).
Целью любого измерения некоторой физической величины является получение её истинного значения. Однако это весьма непростая задача из-за различных ошибок (погрешностей), неизбежно возникающих при измерениях.
Все измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют исследуемую величину. При косвенных измерениях определяемую величину вычисляют по некоторой формуле, а параметры, входящие в эту формулу, находят путем прямых измерений. Погрешность, возникающая в прямых измерениях, естественно, ведет к появлению ошибки косвенно определяемой величины.
Ошибки (погрешности) измерений принято делить на систематические и случайные.
Систематические ошибки вносятся самим измерительным прибором. Их можно учесть, если известен класс точности данного прибора.
Появление случайных ошибок обусловлено влиянием многочисленных случайных причин на результаты измерений. Эти погрешности обнаруживаются лишь при повторении процедуры измерений и приводят к получению ряда близких, но все-таки различающихся между собой значений измеряемой величины.
Теория ошибок позволяет оценить величину именно случайной ошибки. Последовательно рассмотрим порядок обработки результатов прямых и косвенных измерений.
2.Порядок обработки результатов прямых измерений.
Допустим, измеряется величина Х и мы хотим найти её истинное значение – хист. Результатом n измерений, проведенных соответствующим прибором, является ряд её значений: х1, х2, х3 ,…, хn.
Из теории ошибок следует, что при очень большом количестве измерений n (n→∞) истинное значение измеряемой величины практически совпадает со средним арифметическим всех полученных значений:
xист ==
(Σ – «сигма» - заглавная буква греческого алфавита, которая используется в математике как символ суммы одинаковых по структуре слагаемых, - стандартное обозначение среднего арифметического).
Однако при любом ограниченном количестве проведенных измерений n истинное значение хист будет отличаться от найденного среднего арифметического значения – х хист.. Необходимо оценить величину этого различия.
К решению данного вопроса подходят следующим образом.
По полученным результатам n измерений рассчитывают среднее арифметическое значение определяемой величины и ее среднюю квадратичную ошибку S:
= (1)
(2)
По этим данным рассчитывают величину Δx – абсолютную ошибку измеряемой величины x. Теория ошибок дает ее следующее значение:
х = tp, n (3)
Здесь tp,n – коэффициент Стьюдента, значение которого определяется из соответствующих таблиц. Оно зависит от числа измерений n и доверительной вероятности (надежности) p – величины, которая, в соответствии с теорией ошибок, позволяет утверждать, что xист. лежит в определенном интервале, построенном около ,а полуширина этого интервала, по крайней мере, при n < 30 определяется по формуле (3). Заметим, что значение р выбирается до проведения расчетов и при оценке случайных ошибок, возникающих в медико-биологических исследованиях, обычно равно 0,95 (95% ), иногда – 0,99 (99%). Чем ближе p к единице, тем большего доверия заслуживает определяемый интервал.
Окончательный результат записывают в виде: -х < хист. < +х или хист. = х с указанием выбранного значения p.
Интервал значенийx, содержащий xист., называют доверительным интервалом (см. рис.1).
Далее, в соответствие с теорией ошибок, определяют величину = 100%, которую называют относительной ошибкой, оценивающей точность измерений.