- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А. Семинары по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология».
- •Тема 1: «Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».
- •Актуальность темы.
- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А.
- •Семинар 1
- •Элементы дифференциального исчисления.
- •Основные вопросы:
- •1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.
- •2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.
- •3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
- •Производные сложных функций.
- •4. Физический смысл производной. Градиент функции.
- •5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.
- •6.Графики производных функций
- •7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.
- •8.Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •9.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
- •2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
- •Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.
- •I. Непосредственное интегрирование.
- •II. Метод замены переменной (метод подстановки).
- •4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
- •5. Задания для самостоятельной работы.
- •2.Порядок обработки результатов прямых измерений.
- •3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.
- •4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
- •5.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.
Задать функцию - это значит задать правило или закон, согласно которому по данному значению аргумента х определяется соответствующее значение функции у.
Рассмотрим способы задания функции.
Аналитический способ - задание функции с помощью формул. Например, растворение лекарственных веществ из таблеток при приготовлении растворов подчиняется уравнению m = m0е–k t, где m0 и m – соответственно, исходное и оставшееся ко времени растворения t количество лекарственного вещества в таблетке, k -положительная постоянная, е – число примерно равное 2,718…
Графический способ - это задание функции в виде графика. Например, с помощью электрокардиографа на бумаге или на экране монитора компьютера фиксируется возникающая при работе сердца величина разности биопотенциалов U как функция времени t: U = f(t).
Табличный способ - это задание функции с помощью таблицы. Такой способ задания функции используется в экспериментах и наблюдениях. Например, измеряя температуру тела больного через определенные промежутки времени, можно составить таблицу значений температуры тела Т как функции времени t. На основании табличных данных иногда оказывается возможным выразить приближенно формулой соответствие между аргументом и функцией. Такие формулы называют эмпирическими, т.е. полученными из опыта.
В математике различают элементарные и сложные функции. Последние рассмотрим ниже, а здесь приведем основные виды элементарных функций:
Степенная функция – y = f(x) = xn, где х - аргумент, n – любое действительное число (1, 2, - 2, и т.д.).
Показательная функция – y = f(x) = ax, где а - постоянное положительное число, отличное от единицы (а > 0, а ≠ 0), например:
y = 10x (a = 10), y = ex, y = e-x (a = e ≈ 2,718…)
Выделим две последние функции, они называются экспоненциальными функциями или экспонентами и описывают множество физических, биофизических, химических и социальных процессов. Причем y = ex – возрастающая экспонента, , y = e-x – убывающая экспонента.
3. Логарифмическая функция с любым основанием а: y = logax, иначе у - степень, в которую нужно возвести основание функции а, чтобы получить данное число x, т. е. a y = x
Если основание а = 10, то y называется десятичным логарифмом числа x и обозначается y = lg x; если a = e, то y называется натуральным логарифмом числа x и обозначается у =1n х.
Напомним некоторые правила логарифмирования:
Пусть даны два числа а и b, тогда:
lg (a·b) = lg a + lg b;
lg = lg a - lg b;
lg ab = b lg a;
Ничего не изменится при замене символа lg на ln.
Полезно также помнить, что lg 10 = 1, ln е = 1, lg 1 = ln 1 = 0.
4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x и др.
Приведем графики некоторых элементарных функций (см. рис.1):
3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
Переменная величина может изменяться так, что в процессе возрастания или убывания она приближается к некоторой конечной постоянной величине, которая является ее пределом.
По определению пределом переменной величины х называется постоянная величина А, к которой х в процессе своего изменения приближается так, что модуль разности между x и А, т.е. | х - А |, стремиться к нулю.
Обозначения предела: x→ А или lim x = A (здесь → - знак предельного перехода, lim от лат. limited, в переводе на русский – предел). Рассмотрим элементарный пример:
x : 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999…→ 1, A = 1(lim x = 1), т.к.
| х - А |: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001…→ 0.
Введем понятияприращение аргумента и приращение функции.
Если переменная величина х изменяет свое значение от x1 до х2, то разность x2 – x1 = Δx называется приращением аргумента, причем Δx (читается дельта х) – единый символ приращения. Соответствующее изменение функции y2 – y1 = Δy называется приращением функции. Покажем это на графике функции y = f(x) (рис.2). Геометрически приращение аргумента изображается приращением абсциссы точки кривой, а приращение функции - приращением ординаты этой точки.
Производной заданной функции y = f(x) по аргументу х называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, вычисленный при условии, что Δх → 0 .
Она обозначается (читается «у штрих») или , илиdy/dx (читается «дэ y по дэ x»). Таким образом, производная функции y = f(x) равна:
(5)
Правило для отыскания производной функции у = f(х) по аргументу х содержится в определении этой величины: нужно задать приращение аргумента Δх, найти приращение функции Δy, составить отношение и найти предел этого отношения при Δх→ 0.
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции. Этим занимается раздел высшей математики называемый «Дифференциальное исчисление».
Таблица производных основных элементарных функций, полученных по указанному выше правилу, приведена ниже (табл.1)
Таблица 1.
№ п/п |
Виды функции |
Производная функции |
1 |
Постоянная величина y = c |
y' = 0 |
2 |
Степенная функция y = xn (n может быть положительным, отрицательным, целым, дробным) |
y' = nxn-1 |
3 |
Показательная функция y = ax (a > 0; a ≠ 1)
y = ex
y = e-x |
y' = axln a
y' = ex
y' = - e-x
|
4 |
Логарифмическая функция y = logax (a > 0; a ≠ 1)
y = ln x
|
y' = y' = |
5 |
Тригонометрические функции: y = sin x
y = cos x
y = tg x
y = ctg x |
y' = cos x
y' = - sin x y' = y' = |
Если выражение, производную которого надо найти, представляет собой сумму, разность, произведение или частное нескольких функций, например, u, v, z, то используются нижеследующие правила дифференцирования (табл. 2).
Таблица 2.
1. y = u + v – z |
1) y' = u' + v' - z' |
2. y = u · v |
2) y = u' · v + v '· u |
3. y = |
3) y' = |
4. y = a · u, где a = const |
4) y' = a · u' |
Приведем несколько примеров вычисления производных, используя табл. 1 и табл.2.
(x + sin x )' = (x)' + (sin x)' = 1 + cos x;
(x · sin x )' = (x)' · sin x + x · (sin x)' = sin x + x cos x;
;
(5 tgx)' = 5 (tg x)' = .