8.Функции нескольких переменных. Частные производные.

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Например, объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z выражается формулой V = x · y · z, т.е. значения V определяются совокупностью значений x, y и z. Реакция организма r на x единиц лекарственного препарата, вообще говоря, зависит не только от x, но и от времени t, прошедшего с момента поступления лекарства в организм:

r = x² (a – x) · t e ^{- t}.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Переменная z называется функцией, например, двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значений x и y ставится в соответствие определенное значение z, короче: z = f(x, y).

Для функции нескольких переменных вводится понятие частная производная.

Это производная заданной функции по какой-нибудь из переменных. При ее вычислении другие переменные считаются постоянными.

Частные производные обозначаются так: ,z'_x , z'_y .

Рассмотрим вычисление этих производных на конкретных примерах:

1. z = xy + xy² – 1, z'_x = y + y² (y = const), z'_y = x + 2 xy (x = const).

2. z = x³ sin y + y⁴, z'_x = 3x² sin y (y = const), z'_y = x³ cos y + 4y³ (x = const).

9.Задания для самостоятельной работы.

1. Пользуясь определением производной функции, доказать, что производная функции y = x² равна 2х.

2.Вычислить производные следующих функций:

1) y = 1 + x2 +	2) y = x + + 5	3) y = sin 2x + sin x
4) y = e5x + ln x	5) y =	6) y = e – t (a – t2)5

3. Размер популяции бактерий в момент времени t (время выражено в часах) задается формулой n(t) = 10⁶ + 10⁴ – 10³t . Найти скорость роста популяции, когда:

а) t=1 ч; б)t = 5 ч; в) t=10 ч.

4. Разрушение некоторого пломбировочного материала в полости рта протекает в соответствии с уравнением m = m₀ e ^{– k t}, где m – масса материала в момент времени t, k – положительная постоянная. Найти скорость разрушения пломбы.

5. Электрический заряд Q (в Кулонах) определяется формулой: Q = 2t² + 3t + 1. Найти силу тока в конце пятой секунды.

6. Концентрация некоторого вещества с убывает с увеличением толщины ткани (h) по закону , k – постоянный положительный коэффициент, с₀ – концентрация на поверхности. Найти градиент концентрации.

7. Атмосферное давление воздуха p на высоте h над уровнем моря определяется формулой p = p₀e^-kh, где p₀ – это давление на уровне моря, k – положительная постоянная. Найти градиент давления.

8. Решить задачу 2, приведенную в тексте (стр.4).

9. Сопоставьте графики, отмеченные буквами а) и б), на рис. 4 и проанализируйте связь между ними.

10. Вычислить дифференциал следующих функций:

а) y = x³ + 5/x² + x⁴ б) y = (1 – cos x) · x² в) y = 3 tg³x + tg x

11. Найти частные производные:

a) z = e^2x sin 3y б) z = y e^x + 1 в) z = x/y г) z = cos x/y