13

Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А. Семинары по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология».

Тема 1: «Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».

Актуальность темы.

Сегодняшний уровень развития медицинской и биологической физики, таких специальных дисциплин как ортопедическая стоматология и ортодонтия требует получения определенных математических знаний, имеющих, в первую очередь, прикладное значение. В данной теме излагается необходимый теоретический материал из разделов высшей математики, который сопровождается большим числом рассмотренных примеров и задач. По существу, каждый пример – это «математическая модель» изучаемого процесса или объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемым процессам или объектам, не передает всех их свойств и особенностей, а является их приближенным отражением. Однако, благодаря замене, например, реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, то есть прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Простые примеры таких моделей, рассмотренные в нижеследующих семинарах, будут продолжены более сложными при изложении основного курса.

Не вызывает также сомнения, что современный врач должен понимать методы обработки медико-биологических данных и владеть ими. Начальные знания здесь могут быть получены при знакомстве с теорией ошибок (погрешностей) измерений.

Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А.

Семинар 1

Элементы дифференциального исчисления.

Основные вопросы:

1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.

3. Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.

4. Физический смысл производной. Градиент функции.

5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.

6. Графики производных функций.

7. Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.

8. Функции нескольких переменных. Частные производные.

9. Задания для самостоятельной работы.

1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.

В различных областях науки, техники, медицины имеют дело с постоянными и переменными величинами.

Величины, которые всегда сохраняют свое значение постоянным, называются фундаментальными постоянными. Например, отношение длины окружности 2πR к длине диаметра 2R – число π = 3,14…, гравитационная постоянная G = 6,67 · 10^-11 Н · м²/ кг² и др.

Величины, изменяющие свои значения в процессе, который они описывают, называются переменными.

Рассмотрим второй закон Ньютона:

₍₁₎

Здесь – сила,- ускорение, которое приобретает тело массойm при действии на него силы F, – величины переменные, m в данной формуле обычно величина постоянная.

Переменные величины часто в большей или меньшей степени связаны друг с другом. Например, в уравнении (1) данному значению силы F соответствует определенное, причем единственное, значение ускорения а.

Возьмем другой пример: размер популяции бактерий n в каждый данный момент времени t задается формулой:

n(t) = 10⁶ + 10⁴t – 10³t² (2)

Каждому значению t здесь соответствует единственное значение n.

Введем понятие функциональной зависимости между переменными величинами. Некоторая переменная величина у^* связана с переменной х функциональной зависимостью, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Одну из переменных, обычно х, значения которой удобно задавать (F, t в формулах (1) и (2)) называют независимой переменной или аргументом, переменную y (в формулах (1), (2) – a и n), изменяющуюся в зависимости от изменения аргумента, называют зависимой переменной или функцией данного аргумента.

Условились для краткости записи часть уравнения, задающего функцию, обозначать символами f(x), φ(x) ... и писать:

y = f(x), y = φ(x) (φ – греческая буква «фи»).

В наших примерах a = f(F), n = f(t).

Процессы в живом организме во многих практически значимых случаях описываются переменными величинами, связанными между собой функциональной зависимостью. Рассмотрим два примера.

Задача 1: установлено, что реакция организма r на введенное лекарство в определенной дозе x может описываться следующей функцией:

_{r = f(x) = x}² _{(a – x), (3)}

_{где а – некоторая положительная постоянная.}

_{В зависимости от ситуации r может быть температурой, частотой дыхания, частотой пульса, кровяным давлением или каким-то другим физиологическим показателем.}

_{Приведенная формула (3) и представляет собой простейшую математическую модель указанного выше процесса. Сразу встает вопрос: при каком значении x реакция максимальна?}

_{Задача 2: реакция организма r на два лекарства как функция времени t определяется следующими выражениями:}

r₁(t) = te^-t , r₂(t) = t² e^-t (4)

В данном случае, естественно, встают вопросы: 1) при действии какого из лекарств выше максимальная реакция, 2) какое из лекарств медленнее в своем воздействии?

На поставленные вопросы можно ответить после приобретения необходимых знаний по высшей математике (в частности, см. раздел 5 данного семинара).