Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле

Получим формулу для потенциальной энергии точечного заряда q₀, находящегося в поле другого точечного заряда q. Для этого сопоставим формулы (2.10)   и   (2.11)

Тогда потенциальная энергия равна

(2.12)

Из формулы (2.12) видно, что энергия зависит от величины заряда q, который создает поле и от величины заряда q₀, с помощью которого это поле обнаруживают. Поэтому W_p не может служить характеристикой электростатического поля. В качестве энергетической характеристики можно взять отношение потенциальной энергии к пробному заряду, т.к. эта величина будет постоянной для данной точки поля.

 Потенциалом поля в данной точке называется физическая величина, численно равная потенциальной энергии, которая приобретается единичным положительным зарядом при переносе его из бесконечности в данную точку поля.

(2.13)

Потенциал поля точечного заряда q   выражается формулой

(2.14)

Работу сил поля над зарядом q₀ можно выразить через разность потенциалов:

Разность потенциалов (φ₁ - φ₂) равна напряжению U = φ₁– φ₂

Тогда работа по перемещению заряда в электрическом поле равна

A = qU (2.15)

За единицу потенциала принят вольт (В) 1В = 1Дж /1Кл.

Рассмотрим поле, создаваемое системой N точечных зарядов q₁, q₂,… q_N. Расстояния от каждого из зарядов до данной точки поля обозначим соответственно r₁, r₂,… r_N. Работа, совершаемая силами этого поля над зарядом q, будет равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности:

Каждая из работ равна:

Следовательно

Сопоставив это выражение с формулой для работы электростатического поля, получим выражение для потенциальной энергии пробного заряда в поле системы зарядов:

(2.16)

Из которой следует, что потенциал системы зарядов равен:

(2.17)

Таким образом, потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. Обратите внимание, что напряженности складываются векторно, а потенциалы алгебраически.

Связь между напряженностью и потенциалом.

Существует связь между двумя характеристиками электрического поля: потенциалом и напряженностью. Так как E пропорциональна силе, а φ – потенциальной энергии, то соотношение между ними должно быть аналогично связи между потенциальной энергии и силой. Из курса механики известно, что

Где - оператор набла.

Приняв во внимание определение градиента, можно записать:

Следовательно, проекция вектора E на произвольное направление l равна взятой с обратным знаком производной φ по l, т.е. скорости убывания потенциала при перемещении вдоль направления l:

(2.18)

Циркуляция вектора напряженности.

Ранее было установлено, что работа поля по переносу заряда вдоль замкнутого пути равна нулю, что отражает потенциальный характер поля.

Работа на участке может быть выражена:

Тогда по замкнутому пути:

(2.19)

– циркуляция вектора E по замкнутому контуру.

В электрическом поле циркуляция вектора напряженности вдоль замкнутого контура равна нулю.