Вопросы для самоподготовки

1. Принцип относительности в классической теории Ньютона.

2. Преобразования Галилея.

3. Классический закон сложения скоростей.

4. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна.

5. Преобразования Лоренца.

6. Длина тел в разных системах отсчета.

7. Замедление течения времени.

8. Релятивистский закон сложения скоростей.

9. Понятие релятивистской массы.

10. Взаимосвязь энергии и массы.

11. Релятивистский импульс.

Лекция № 7

Механика жидкостей и газов.

Вязкость жидкости. Уравнение Бернулли.

Раздел физики, в котором рассматривают законы равновесия и движения жидких и газообразных тел, а также их взаимодействие с твердыми телами, называют гидроаэромеханикой.

Характерное свойство жидких и газообразных тел – их текучесть, т.е. малая сопротивляемость деформации сдвига. В жидкости силы, действующие между молекулами, меньше чем в твердых телах, и быстро убывают с расстоянием. В газах при обычных условиях силы молекулярного взаимодействия настолько малы, что молекулы свободно и беспорядочно перемещаются по законам, близким к законам упругого удара и проявляются эти силы только при сближении молекул. В жидкости некоторая упорядоченность в расположении молекул наблюдается лишь вблизи каждой данной молекулы и в течение некоторого времени.

Иными словами, в обычных условиях жидкости не оказывают сопротивления изменению формы, но сохраняют свой объем, а газы не сохраняют ни формы, ни объема. Вследствие этого внешнее давление, производимое на жидкость или газ, передается ими во все стороны равномерно (закон Паскаля).

Гидроаэростатика – раздел механики, изучающий равновесие жидкостей и газов.

Гидроаэродинамика – раздел механики, изучающий движение жидкостей и газов под действием внешних сил.

Жидкости и газа рассматриваются в механике как сплошные среды, непрерывно заполняющие часть пространства.

Для изменения объема жидкости или газа требуются внешние силы, при этом в жидкости и газе возникают упругие силы. Эти упругие свойства характеризуются давлением.

Р ассмотрим, как действуют силы внутри жидкости. Для этого проведем в некотором объеме жидкости, находящемся в равновесии, площадку ∆S (рис. 1.11). Вследствие упругости отдельные частицы жидкости действуют друг на друга и, в частности, на ∆S с силой, зависящей от степени сжатия жидкости.

Равнодействующая ∆f всех сил, с которыми жидкость действует на площадку ∆S, направлена по нормали к ней, т.к. в противном случае её нужно было разложить на две составляющие – нормальную и касательную. Рис. 1.11.

Касательная составляющая вследствие отсутствия упругости сдвига привела бы жидкость в движение, что противоречит условию неподвижности.

Силу, отнесенную к единице поверхности площадки ∆S, называют давлением:

Чтобы определить давление в точке, переходим к пределу:

(1)

Давление – скаляр, т.к. его величина не зависит от ориентации площадки, к которой отнесено давление. Давление в газах определяется аналогично.

Единицы давления:

СИ: Н/м² (Па – Паскаль)

Внесистемные единицы: 1 мм. рт. ст. = 133 Па

1 атм = 1,01·10⁵ Па

Гидростатика несжимаемой жидкости

С илы, действующие в жидкости, делятся на массовые (объемные) и поверхностные (касательные). Массовая сила ( f )– сила, действующая на любой элемент объема жидкости (например – сила тяжести или вес жидкости). Поверхностные силы – это внешние силы, действующие на поверхность жидкости или на выделенный объем.

Е

Рис. 1.12.

сли бы в жидкости не было бы объемных сил, то условием равновесия было бы постоянство давления во всем объеме.

Определим теперь давление внутри весомой несжимаемой жидкости. Выделим вертикальный цилиндр высотой h и площадью S (рис. 1.12). Рассчитаем силу, действующую на нижнюю и верхнюю поверхности цилиндра.

На верхнюю: F_B = p₀S

На нижнюю: F_H = pS

Еще на цилиндр действует сила тяжести:

mg = ρVg = ρhSg

Если цилиндр в равновесии, то результирующая R всех сил равна нулю: F_B + mg – F_H = 0

p₀S + ρhSg – pS = 0

p = p₀ + ρgh – гидростатическое уравнение (2)

Следствием неодинаковости давлений на разных уровнях в жидкостях и газах является наличие выталкивающей силы, определяемой законом Архимеда (287-212 гг. до н.э.):

На тело, погруженное в жидкость или газ, и омываемое со всех сторон действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости или газа в объеме погруженного тела.

Закон Архимеда используется при оценке плавучести и устойчивости кораблей.

Современная теория плавучести и остойчивости кораблей развита в трудах А. Н. Крылова, создавшего русскую научную школу кораблестроения.

Стационарное движение идеальной жидкости.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

С овокупность векторов или , заданных для всех точек пространства, называется полем скоростей (или ускорений).

Поле скоростей изображают следующим образом:

проводят в движущейся жидкости линии так, чтобы касательные к ним в каждой точке совпадали по направлению с .

Линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной, называется линией тока.

Линии тока проводят так, чтобы густота их была пропорциональна величине скорости в данном месте.

Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока.

Течение жидкости, при котором скорости в каждой точке потока, а также форма и расположение линий тока, не изменяются со временем, называется стационарным (установившимся).

Поток, в котором распределение скоростей меняется со временем, называется нестационарным.

Рассмотрим стационарное течение жидкости, происходящее без пузырьков и пустот.

Рис. 1.13

Такое течение должно удовлетворять закону сохранения массы: за один и тот же интервал времени ∆t через разные сечения трубки S₁ и S₂ должны проходить одинаковые массы жидкости:

v₁S₁ = v₂S₂ – уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (3)

Теорема неразрывности:

Произведение величины скорости течения несжимаемой жидкости на величину поперечного сечения трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока.

Следствия из уравнения (3):

1) чем уже сечение трубки тока, тем больше v и наоборот;

2) при изменении сечения трубки тока частицы движутся с ускорением.

Применим закон сохранения энергии для выделенных объемов.

Изменение энергии ∆E рассматриваемого объема из 1 в 2 равно:

∆E = (E_p2 + E_k2) – (E_p1 + E_k1)

(4)

Т.к. силы трения отсутствуют, то изменение энергии должно равняться работе, совершаемой силами давления:

A = F₁ℓ₁ – F₂ℓ₂ = p₁S₁ℓ₁ – p₂S₂ℓ₂ (5)

Приравнивая (4) и (5), получим:

т.к. V₁ = V₂ = V, а , то:

– уравнение Бернулли (1738г.) (6)

Это уравнение связывает изменение давления с изменением скорости течения и геометрической высотой.

Уравнение Бернулли представляет собой закон сохранения энергии для единицы объема жидкости:

– Е_к энергия единицы объема жидкости (динамическое давление);

ρgh – Е_п энергия единицы объема жидкости в поле силы тяжести (гидростатическое давление);

p – называется статистическим давлением жидкости на стенки трубы;

Уравнение Бернулли хорошо выполняется для реальных жидкостей, внутреннее трение в которых мало (вода, воздух).

Следствия:

1 . Накдонная трубка тока постоянного сечения (v = const везде):

·g·h₁ + p₁ = ·g·h₂ + p₂;

p₁ – p₂ = ·g·(h₂ – h₁)

Разность давлений в двух сечениях равна весу столба жидкостей между ними, т.е.

Δp = p₁ – p₂ – равно гидростатическому давлению.

2. Горизонтальная трубка тока переменного сечения:

В местах сужений, где скорость возрастает, статистическое давление уменьшается (и наоборот).

Вязкость. Силы внутреннего трения.

П

x

v_в

v₂

ри течении реальной жидкости или газа отдельные слои воздействуют друг на друга с силами, касательными к слоям, которые называются силами внутреннего трения. Свойства жидкости, связанные с наличием сил внутреннего трения называется вязкостью.

Р

Рис. 1.14

ассмотрим течение вязкой жидкости между двумя твердыми пластинами, из которых нижняя неподвижна, а верхняя движется со скоростью v_в (рис. 1.14). Условно представим жидкость в виде нескольких слоев 1,2,3…. Слой у дна, как бы прилипает, его скорость равна нулю. У верхнего слоя, прилипшего к пластине скорость максимальна. Слои воздействуют друг на друга. Например, слой 3 стремится ускорить 2, но испытывает торможение с его стороны, хотя со стороны 4 сам ускоряется. Т.е. нижележащий слой тормозит, а вышележащий слой ускоряет течение жидкости.

Если слои жидкости движутся с различными скоростями, то возникают силы взаимодействия между слоями и возникает дополнительно обмен количеством движения между ними в результате беспорядочного движения молекул. Молекулы, переходя из слоя в слой, изменяют их количество движения.

Это и является результатом возникновения внутреннего трения.

И. Ньютон дал выражение для силы внутреннего трения:

(7)

Отсюда следует, что сила внутреннего трения пропорциональна площади взаимодействующих слоев и тем больше, чем больше их относительная скорость.

η – коэффициент динамической вязкости (вязкость).

- называется градиентом скорости, который характеризует быстроту изменения величины скорости при переходе от слоя к слою в направлении нормальном к движению слоев.

[η] = кг/м·с в СИ;

η зависит от температуры жидкости (с ростом температуры уменьшается).

Вязкость проявляется не только при движении жидкости или газа по сосудам, но и при движении тел в жидкости или газе. При небольших скоростях тел, в соответствии с уравнением Ньютона, сила сопротивления движущемуся телу пропорциональна вязкости жидкости, скорости движения тела и зависит от размеров тела. Наиболее простой формой тела является шар. Для него силы внутреннего трения находятся следующим образом:

F_тр = 6πηrv – закон Стокса.

r- радиус шара, v- скорость его движения.

Различают два течения жидкости:

а) ламинарное (пластинчатое) – движение жидкости параллельными слоями, не перемешиваясь.

б) турбулентное (вихревое) – частицы жидкости движутся по искривленным случайно изменяющимся во времени траекториям.

Ламинарное течение – течение стационарное при небольших скоростях.

Турбулентное течение – течение нестационарное.

Х арактер изменения скорости течения в потоках можно представить схемами средних скоростей:

При ламинарном движении:

верхние слои жидкости из-за сил молекулярного притяжения прилипают к поверхности трубы и остаются неподвижными. Скорости последующих слоев увеличивается при увеличении расстояния от стенок трубы.

При турбулентном движении:

Частицы жидкости приобретают скорость перпендикулярную течению, следовательно могут переходить из слоя в слой. Скорость частиц жидкости быстро увеличивается по мере удаления от поверхности трубы, а затем практически не меняется, т.к. частицы свободно переходят от слоя в слой.

Английский учёный Рейнольдс установил, что характер течения зависит от значения безразмерной величины, называемой числом Рейнольдса Re:

, (8)

где ρ – плотность жидкости (газа);

v – средняя скорость потока;

ℓ – геометрический размер сечения;

η – вязкость.

При малых Re – ламинарное течение, при больших – турбулентное.

Величина в уравнении (8) называется кинематической вязкостью ν.