А) Момент силы: Рассмотрим движение тела, имеющее ось вращения о1о2, под действием произвольной силы f.

Разложим F на F_n и F_τ. F_n – вызывает поступательное движение тела, но если ось закреплена, то ее действие равно нулю. F_τ – направлена по касательной и вызывает вращение тела вокруг оси.

Вращательным моментом М (или моментом силы относительно оси) называется величина, равная произведению силы на плечо (плечо ℓ – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):

Или другими словами:

Момент силы равен векторному произведению радиуса-вектора, проведенного в точку приложения силы, на эту силу:

_где α – угол между векторами и

М омент силы – вектор, его направление связано с направлением действия силы правилом буравчика (правого винта).

Б) Момент инерции:

Согласно второму закону Ньютона:

F_τ = ma_τ, умножим на r

F_τ∙r = ma_τ∙r,

учитывая, что a_τ = rε, получаем

М = mr²ε

_{I = mr2 – момент инерции материальной точки.}

_{Моментом инерции} материальной точки относительно центра вращения, называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до центра вращения.

_{Таким образом, второй закон Ньютона для вращательного движения выглядит следующим образом: M = Iε}

Момент инерции I тела зависит:

а) от формы тела;

в) от того, относительно какой оси вращается тело;

б) от размеров тела;

г) от распределения массы по объему тела.

Неподвижная ось вращения может проходить как через центр инерции тела, так и вне его. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, можно найти по теореме Штейнера:

Момент инерции тела I, относительно произвольной оси, равен сумме момента инерции тела I_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между этими осями.

I = I_c + md²

Приведем примеры моментов инерции для однородных тел простейшей формы:

1. Тонкое кольцо – относительно оси симметрии:

I = mR²

2. Диск – относительно оси, совпадающей с диаметром:

3.Диск – относительно оси симметрии:

4. Шар – относительно оси, проходящей через центр шара:

5. Прямой тонкий стержень – относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину:

6. Прямой тонкий стержень – относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец:

в) Момент импульса.

Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из n материальных точек. По второму закону Ньютона уравнение движения i-той материальной точки может быть представлено:

Умножим векторно обе части уравнения на радиус-вектор, проведенный в i-тую материальную точку из начала координат.

Получим:

Легко видеть, что из левой части полученного выражения можно вынести дифференциал d/dt. Таким образом:

(1)

Векторное произведение радиуса-вектора I-той материальной точки на ее импульс называется моментом импульса I-той материальной точки:

Единица момента импульса: [L] = 1 кг·м²/с

Вектор момента импульса перпендикулярен плоскости, где лежат вектора r и p, и образует с ними правую тройку векторов.

Справа в выражении (1) стоит сумма моментов всех внешних сил. Следовательно, это уравнение можно переписать в следующем виде:

(2)

Выражение (2) является основным законом динамики вращательного движения для системы материальных точек: скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту всех внешних сил, действующих на систему.

Пусть тело, состоящее из n-ого числа точек, вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω.

Учтем, что r перпендикулярен v. Получим:

Для всего тела окончательно имеем:

Из (2) уравнения следует, что при отсутствии внешних сил

Следовательно, для замкнутой системы выполняется закон сохранения момента импульса:

Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Сохраняется не только величина момента импульса, но и направление его оси вращения.

Пример:

1) Скамья Жуковского: скамья раскручена, и руки человека опущены. Человек расставляет руки с гантелями в стороны, скорость движения резко уменьшается.

(Iω = const = mr²ω) → увеличение r приводит к уменьшению ω, чтобы произведение mr²ω оставалось постоянным.

2) Гироскопы.