IV. Закон сохранения механической энергии.

В 1748 году М.В. Ломоносов впервые сформулировал закон сохранения и превращения энергии. Спустя сто лет Р. Майер и Г. Гельмгольц дали количественную формулировку этого закона:

В замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.

Рассмотрим, как изменяется энергия, в механической системе, находящейся под действием консервативных сил. Положим, в системе из n материальных точек, обладающих массами m_i, действуют результирующие консервативные силы F_i и неконсервативные силы f_i.

По второму закону Ньютона уравнение движения для i-той точки системы имеет вид:

(7)

Умножим обе части уравнения на dr и учтем, что dr = vdt. Для всей системы материальных точек получим:

(8)

_{Первая сумма уравнения (8) – изменение кинетической энергии системы материальных точек (dWк).}

_{Вторая – представляет собой суммарную работу, совершаемую всеми консервативными силами и равную изменению потенциальной энергии системы (dA = - dWp).}

_{Третья сумма – работа, совершаемая неконсервативными силами (δАн.к).}

_{Таким образом: dWk + dWp = δAнк (9)}

Закон сохранения механической энергии:

1. Изменение полной энергии механической системы равно работе неконсервативных сил, действующих на нее.

Если на систему действуют консервативные силы (замкнутая система), то уравнение (9) принимает вид:

d(W_к + W_p) = 0 или W = W_k + W_p = const

2. Для замкнутой механической системы полная энергия есть величина постоянная

Энергия может перераспределяться между телами системы или переходить из W_K в W_p и наоборот, но суммарное значение ее остается постоянным. Закон сохранения энергии является фундаментальным законом природы. Он справедлив как для макротел, так и для микротел.

Соударение двух тел

Рассмотрим два примера на применение законов сохранения импульса и энергии при соударении двух тел. Существует два предельных вида удара: абсолютно упругий и абсолютно неупругий.

Абсолютно упругим ударом называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии, а тела разлетаются, не меняя своего строения и формы.

Запишем закон сохранения импульса для абсолютно упругого удара

,

где - скорости тел до удара,      - скорости тел после удара.

Закон сохранения энергии для абсолютно упругого удара шаров запишется в следующем виде

В этом случае кинетическая энергия системы до удара равна кинетической энергии системы после удара.

Решая совместно два уравнения, получим скорости шаров после удара.

Систему тел называют диссипативной, если ее механическая энергия постепенно уменьшается за счет превращения в другие формы энергии. Этот процесс называют процессом диссипации (рассеяния) энергии. В качестве примера рассмотрим диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном ударе двух поступательно движущихся тел.

Абсолютно неупругим ударом называется такой удар, после которого тела меняют свою форму и движутся как единое целое с одинаковой скоростью или покоятся. При этом происходит превращение механической энергии в другие виды (например, в тепло).

Запишем закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара

,

где - скорости тел до удара,       - общая скорость после удара.

Запишем закон сохранения энергии в общем форме для абсолютно неупругого удара шаров.

,

где    - энергия деформации. В этом случае изменение полной механической энергии равно энергии деформации.