39. Свободные гармонические колебания.

П ружинный маятник представляет собой груз массой m укрепленный на пружине, коэффициент упругости которой k.

Е сли отклонить груз от положения равновесия вправо, то на него будет действовать сила упругости, направленная против смещения x к центру равновесия. Груз начнет двигаться, энергия пружины Wп_max=kx_о²/2 будет превращаться в кинетическую энергию тела и в точке равновесия будет равна Ек_max=mυ²_max/2. По инерции тело будет двигаться вправо до остановки, в которой его энергия опять станет равной Wп_max=kx_о²/2. При отсутствии трения полная энергия остаётся постоянной и равняется

W=Wп+Ек

Если не принимать во внимание постепенное затухание колебаний, то они будут гармоническими: ведь исходя из уравнения движения для вынужденных колебаний, движение происходит под действием силы F= -kx , которая направлена к центру равновесия, значит,

x = А cosωt, υ = -ωА sinωt, a= -ω²А cosωt, k=mω²

ω= , период пружинного маятника равен

T = 2π

Рассмотрим движение тела, подвешенного на длинной нити (математический маятник) При небольших отклонениях, движение шарика можно считать гармоническими колебаниями. Из подобия треугольников ОАВ и треугольника, образованного силами Fв и Fт, где Fт – сила тяжести, а Fв – возвращающая сила, равная сумме силы тяжести и силы упругости нити, следует.

Fт/Fв= /AB - АВ приближенно равно x

Fв = - , или Fв = -kx, и направлена к центру равновесия, где k=mg/ℓ, но тогда x=Аcosωt,

υ= -ωАsinωt, a= -ω²Аcosωt,

ω= ω= , период математического маятника равен .

ВОПРОСЫ

1. Что представляет собой пружинный маятник?

2. Чему равна первоначальная энергия пружины?

3. Чему равна энергия тела при прохождении положения равновесия?

4. Чему равна полная энергия тела в любой момент времени?

5. Чему равен период колебаний пружинного маятника?

6. Что представляет собой математический маятник?

7. Чему равен период колебаний математического маятника?

ЗАДАЧИ

1. Частота колебаний 20000 Гц. Определить период колебания.

5  10^-5 c

2. Период колебания 10^-2 с. Определить частоту колебаний.

100 Гц

3. Сколько колебаний совершит материальная точка за 5 с при частоте колебаний 440 Гц?

2200

4. Определить период колебаний материальной точки, совершившей 50 полных колебаний за 20 с.

0,4 с

5. Материальная точка за 1 мин совершила 300 колебаний. Определить период колебаний и частоту.

0,2 с 5 Гц

6. Найти период и частоту колебаний математического маятника, длина нити которого равна 0,634 м.

1,72 с 0,582 Гц

7. Пружина под действием прикрепленного к ней груза массой 5 кг совершает 45 колебаний в минуту. Найти коэффициент жесткости пружины.

1,08 кН/м

8. Найти массу груза, который на пружине жесткостью 250 Н/м делает 20 колебаний за10 с.

4 кг

9. Как изменится период колебаний математического маятника, если его длину увеличить в 4 раза?

Увеличится в 2 раза

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 31

1. Материальная точка колеблется с частотой 10 кГц. Определить период колебаний и число колебаний в минуту.

10^-4 с 6  10⁵ мин^-1

2. Грузик, колеблющийся на пружине, за 8 с совершил 32 колебания. Найти период и частоту колебаний.

0,25 с 4 Гц

3. Ускорение свободного падения на поверхности Луны 1,6 м/с². Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период колебания на Луне был равен 1 с ?

4 см

4. Частота колебаний крыльев комара 600 Гц, а период колебаний крыльев шмеля 5 мс. Какое из насекомых и насколько больше, сделает при полете взмахов крыльями за 1 мин?

Комар сделает на 240000 взмахов больше

5. Тело массой 0,2 кг подвешено на пружине, жесткость которой 2 кН/м. Определить частоту свободных колебаний этого тела на пружине.

16 Гц

Декартовы координаты частицы изменяются следующим образом: х=Аcosωt, y=Asinωt, z=Aωt, где А и ω положительные константы. Какой путь пройдёт точка за время t_o?