37. Вынужденные гармонические колебания.

К олебания тела, которые создаются внешней, периодической силой, называются вынужденными колебаниями. Рассмотрим движение кривошипно–шатунного механизма. При равномерном вращении кривошипа r движение через шатун АМ= передается точке М поршня.

Поршень совершает колебания. т.А движется из т х_о. Проекция т. А на ОХ совершает гармонические колебания х=rcosωt. Координата тМ складывается из отрезков ОХ+ХМ, ОХ=rcosφ,

ХМ = . Уравнение движения т М x =r cosωt + , Если >>r, то x = r cosωt +

Если систему координат перенести в центр между крайними положениями т М, то уравнение в новых координатах будет выглядеть х = r cosωt или х = А cosωt, где А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота, т.е. движение поршня, является гармоническими колебаниями, т.е., подчиняющимися законам синуса или косинуса.

Пример: дано уравнение колебаний материальной точки

x = 0,2 sin (2πt+π)

определить параметры колебаний.

х = 0,2 sin (2πt+π) x = Аsin (ωt+ φ₀), φ₀ – начальная фаза.

А=0,2; ω=2π; φ₀= π; Т=2π/ω=2π/2π=1 с.

ν =1/T= 1 Гц.

Уравнения движения проекции т А на ось ОХ:

x = А cosωt υ_х = -ωА sinωt a_х= -ω²А cosωt

Поршень М движется синхронно с проекцией точки А на ось ОХ, с ускорением a= -ω²А cosωt, значит на него действует со стороны шатуна сила F_х= ma_х, F_х= - mω²А cosωt движение поршня будут являться вынужденными колебаниями. Колебания происходят под действием внешней периодической силы. С какой скоростью мы будем вращать кривошип – с такой круговой частотой будут происходить колебания поршня.

Сила F= -kx, где k=mω², x = А cosωt, называется квазиупругой, подобной упругой силе.

Сила направлена против смещения и к центру равновесия расположенному посередине между крайними точками смещения.

Итак, F= -kx; k=mω² ; x = cosωt; υ = -ωА sinωt; a= -ω²А cosωt. ω²=к/m

ВОПРОСЫ

1. Что такое механические колебания?

2. Что называют свободными колебаниями?

3. Что называется периодом колебаний?

4. Что такое частота колебаний?

5. Что такое амплитуда колебаний?

6. Что такое фаза?

7. Что называют вынужденными колебаниями?

8. Что такое квазиупругая сила?

9. Чему равна циклическая частота квазиупругой силы?

38. С ложение колебаний

Пусть тело Т на пружинах подвержено действию двух кривошипно-шатунных механизмов, которые могут воздействовать на него с разными частотами и амплитудами. Результирующее колебание x=x₁+x₂,

x =А₁cos(ω₁t+φ₁ )+А₂ cos(ω₂t+ φ ₂). Решить это уравнение сложно, поэтому часто прибегают к графическому сложению колебаний. Результирующее значение каждой точки x, равно алгебраической сумме x₁ и x₂.

Рассмотрим два частных случая

1. Оба колебания имеют одинаковый период, и разность фаз равна нулю. В этом случае колебания усиливают друг друга.

2. Пусть оба колебания имеют одинаковый период и разность фаз 180˚. Результирующее колебание равно разности x= x ₁ –x₂ . Колебания гасят друг друга, а если амплитуды их одинаковы, результирующее колебание равно нулю.

Если функции имеют одинаковую циклическую частоту, то можно представить их и их сумму векторами. Например, функция x=А₁cosωt – чёрный вектор, функция x=А₂cos(ωt+φ₂) – красный вектор. Теперь определим геометрически (циркулем) начальную фазу и амплитуду (линейкой), а затем запишем новую функцию x=А₃cos(ωt+φ₃) – коричневый вектор.

Вопросы:

1. К ак геометрически складываются колебания?

2. Какие частные случаи необходимо рассмотреть?

3. Как складываются геометрически колебания одинаковой частоты?