Колебания

Среди всевозможных движений большее распространение имеют колебания. Колебания совершают электроны и молекулы, детали машин. Благодаря колебаниям мы видим и слышим.

Механическими колебаниями называют периодически повторяющиеся движения. механические колебания подразделяются на

• свободные или собственные колебания - происходящие без переменного внешнего воздействия и поступления энергии извне (маятник, тело подвешенное на пружине);

• п ериодические - при которых значения координаты, скорости и ускорения циклически повторяются через определённые промежутки времени (если это условие не выполняется, то колебания апериодические);

• вынужденные - вызываемые и поддерживаемые переменной во времени внешней силой;

• параметрические - вызываемые изменением во времени динамических параметров системы ( жесткости, массы или момента инерции, демпфирования и др.);

• автоколебания - стационарные колебания, возбуждаемые и поддерживаемые за счет энергии поступающей от источника не колебательного характера, в которой поступление энергии регулируется движением самой системы;

Характеристики колебательного движения:

А, х₀, х_max – амплитуда колебаний – наибольшее смещение [метр]

ω – круговая или циклическая частота [рад/сек]

T – время одного полного колебания [сек]

Если за время t тело совершает N колебаний, то

ν – частота - число колебаний в секунду [Гц] - герц

ν = 1/ ω = 2π /T ω = 2πν T = 2π/ω

(ωt + φ_о) – фаза колебаний, φ_о – начальная фаза.

Е сли закон движения материальной точки выражается в виде синусоидальной функции зависимости координаты от времени, то говорят, что эта точка совершает гармонические колебания. Проекция точки М, равномерно движущейся по окружности на ось х совершает гармонические колебания т.к. уравнения движения:

x = Аcos(ωt + φ_о)

υ = - ωx_о sin(ωt + φ_о)

a = - ω²А cos(ωt + φ_о)

Графики смещения, скорости и ускорения

Как видно из графиков скорость отличается по фазе от смещения на π/2, а ускорение на π.

Пример: Дано уравнение колебаний материальной точки

x = 0.2 sin (2πt +π) определить параметры колебаний

x = 0.2 sin (2πt +π);

x = A sin (ωt + φ);

A = 0.2; ω = 2 π; φ = π; T = 2π /ω = 2π/2π = 1 c; ν = 1/T = 1Гц.

В ОПРОСЫ

1. Какое движение называется механическими колебаниями?

2. Какие колебания называются свободными?

3. Какие колебания называются вынужденными?

4. Какие колебания называются периодическими?

5. Какое движение называется вынужденными колебаниями?

6. Что такое автоколебания?

7. Что такое амплитуда колебаний?

8. Что называется периодом колебаний?

9. Что такое частота колебаний?

10. Как связаны период и частота колебаний?

11. Что такое фаза колебаний?

12. Какие колебания называются гармоническими?

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ 30

1. Материальная точка за 3 мин совершила 300 коле­баний. Определить период и частоту колебаний.

2. Материальная точка колеблется с частотой ν=10 кГц. Определить период и число колебаний в минуту.

3. Определить смещение от положения равновесия в моменты t₁=0, t₂=T/12, t₃=T/4, t₄=T/2 материальной точки, совершающей гармонические колебания. Начальная фаза колебаний равна нулю, амплитуда колебаний равна 2м.

4. Записать уравнения гармонических колебаний при следующих параметрах: 1) А =10,0 см, φ_о==π/4, ω=2π; 2) А=5,0 см, φ_о= л/2, Т=2,0 с; 3) А =4,0 см, φ_о=π, ν=2,0 Гц.

5. Материальная точка совершает гармонические ко­лебания по закону х=2sin[(π/4)t+π], где х выражено в сантиметрах, t — в секундах. Определить амплитуду колебаний, начальную фазу, период колебаний.

6. Записать уравнение гармонических колебаний при следующих параметрах: A==5,0·10^-2 м, φ_о==0. Длина нити математического маятника 40м. Определить частоту колебаний, циклическую частоту.

7. Материальная точка совершает гармонические ко­лебания по закону х=4sin[(π/6)t+π/2], где х выражено в сантиметрах, t — в секундах. Определить амплитуду колебаний, начальную фазу, период колебаний.

8. Тело массой 0,2 кг совершает гармонические ко­лебания по закону x=0,10sin(628t+л/3). Определить амплитуду смещения, начальную фазу, частоту колебаний, период колебаний, амплитуду скорости, мак­симальную кинетическую энергию, максимальную потенциальную энергию, полную энергию.

9. По графику зависимости смещения от времени определить амплитуду колебаний, период, частоту, начальную фазу.