6. Перемещение при прямолинейном равнопеременном движении.

Формулу для вычисления переме­щения проще всего получить графи­ческим методом. При равноускоренном движении тела вдоль оси X скорость изме­няется со временем согласно фор­муле . Так как время в эту формулу входит в первой степе­ни, то график д ля проекции ско­рости в зависимости от времени представляет собой прямую, как это показано на рисунке. Прямая 1 на этом рисунке соответствует движению с положительной проекцией ускорения (скорость растет), пря­мая 2 — движению с отрицательной проекцией ускорения (скорость убы­вает). Оба графика относятся к слу­чаю, когда в момент времени t_o = 0, тело имеет некоторую начальную скорость υ_о. Перемещение выражается пло­щадью, заключённой под графиком. Перемещение за все время t численно равно пло­щади трапеции. Площадь же трапеции, как известно из геометрии, равна произведению полусуммы ее оснований на высоту , но , отсюда .

Таким образом, мы видим, что при равноускоренном движении пе­ремещение растет со временем не так, как при равномерном движении: теперь в формулу входит квадрат времени. Это значит, что переме­щение со временем растет быстрее, чем при равномерном движении и графиком зависимости координаты от времени является парабола.

К ак зависит от времени коорди­ната тела? Теперь легко получить и формулу для вычисления коорди­наты х в любой момент времени для тела, движущегося равноуско­ренно. , отсюда . Поэтому .

Для вычисления перемеще­ния можно получить и другую по­лезную формулу, в которую время не входит.

Из выражения по­лучим выражение для t и подставим его в формулу для перемещения, приве­денную выше. Тогда получаем:

Эти формулы позволяют найти пере­мещение тела, если известны уско­рение, а также начальная и конеч­ная скорости движения.

Формулу перемещения можно получить, решая дифференциальное уравнение. Пусть тело движется с постоянным ускорением .

По определению → , интегрируя обе части уравнения, получим

→ , или ,

Умножим обе части уравнения на dt,

интегрируя ещё раз, получим → →

Графическим представлением равнопеременного движения являются графики зави-

симости координаты от времени ,

скорости от времени и ускорения от времени а_х = const.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Автомобиль проезжает мимо наблюда­теля, двигаясь со скоростью ТО м/с. В этот момент водитель нажимает на тормоз и авто­мобиль начинает двигаться с ускорением, по модулю равным 1,0 м/с2. Сколько времени пройдет до остановки автомобиля?

Решение. Выберем за начало отсчета координаты место нахож­дения наблюдателя, а координатную ось направим в сторону движения автомобиля (рис. 38). Обозначим скорость автомобиля в момент, когда он проходит мимо наблюдателя, че­рез υ_о, а его ускорение после вклю­чения тормоза через а. Воспользуемся формулой . В момент остановки υ_x = 0. Ускорение при торможении направлено против скорости т.е. отрицательно. Следовательно, 0 = υ_ох - а_хt или t = υ_ox/a_x. Подста­вив в это выражение значения υ_ox и а_x, получим t = 10/1=10(c).

2. Тело движется прямолинейно с умень­шающейся скоростью. Ускорение а постоянно и по модулю равно 4 м/с2. В некоторый момент времени модуль скорости тела υ0 = = 20 м/с. Найдите скорость тела через t1 = = 4с и t2 = 8с после этого момента.

Решение. Направим коорди­натную ось X по направлению век­тора скорости υо. Тогда проекция υох положительна и равна модулю вектора υ_о . А так как скорость тела уменьшается, то проек­ция ускорения ах отрицательна и равна а_х= - а.

Чтобы найти проекцию скорости в указанные в задаче моменты времени применим формулу .Отсюда для момента вре­мени t1 найдем:

υ₁=20 - 4•4 = 4(м/c), υ₂=20 - 4•8 = -12(м/c),

Знак «минус» означает, что к исхо­ду 8-й секунды тело двигалось в на­правлении, противоположном на­чальному. Очевидно, что перед тем, как начать движение в обратном направлении, тело должно было остановиться. В какой момент вре­мени t это произошло? Проекция υ равна нулю, когда υ₀х= - а_хt. Отсюда t' = -20/-4=5 (с). Направление движения изме­нилось на обратное через 5 с после того момента, когда скорость тела была равна 20 м/с.

Двигаться так, как описано в этой задаче, могло бы, например, тело, которое толкнули вверх по наклон­ной плоскости.

3. Водитель автомобиля, движущегося со скоростью 72 км/ч, увидев красный свет све­тофора, нажал на тормоз. После этого ско­рость автомобиля стала уменьшаться на 5 м/с каждую секунду. Найдите расстоя­ния, которые автомобиль проходит в пер­вые 2 с после начала торможения и до пол­ной его остановки.

Решение. Координатную ось X направим по направлению движения автомобиля (рис. 38), а за начало отсчета координаты примем то место на дороге, где началось торможе­ние. Начало отсчета времени отне­сем к моменту, когда водитель на­жал на тормоз. Начальная скорость υ_о автомо­биля со направлена с осью X, а ускорение направлено в противопо­ложную сторону, так что проекция начальной скорости υ_ох положитель­на, а проекция ускорения ах — от­рицательна. Расстояния, пройденные ав­томобилем,— это проекции переме­щения Sx,

→ ;

→ →