Биномиальное распределение

Определим числовые характеристики биномиального распределения. Число k появлений события А в серии из n независимых испытаний можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую возможные значения из интервала . Вероятности, с которыми могут появиться эти возможные значения, подсчитываются по формуле Бернулли. Такое распределение называют биномиальным, так как формула для вероятности есть формула общего члена в формуле бинома Ньютона

.

Рассмотрим случайную величину Х - число появлений события А в одном испытании. Легко видеть, что эта случайная величина принимает два возможных значения: 0 - если события А не произошло с вероятностью q = ²-р и 1 - если событие А с вероятностью p появилось. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х имеет вид

Х	0	1
P	q	р

Теперь легко подсчитать математическое ожидание

М(Х) = 0·q+1·р = р

Дисперсия найдется по формуле D(Х)=М(Х²)-М²(Х). Закон распределения величины Х² совпадает с законом распределения Х и, следовательно,

D(Х) = М(Х²)-М²(Х) = р-р² = р(1-р) = рq.

Случайную величину k можно рассматривать как сумму независимых одинаково распределенных величин Х₁ , Х₂ ,… Хn , т.е. k =Х₁ + Х₂ +… +Хn. Число таких слагаемых равно числу испытаний. По свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

М(Х₁ + Х₂+… Хn) = М (Х₁ ) + М(Х₂ ) +…+М(Хn ) = nр,

D(Х₁ + Х₂ +… +Xn) = D (Х₁ ) + D(Х₂ ) +…+D(Хn ) = nрq.

Распределение Пуассона

Пуассоновским называется закон распределения дискретной случайной величины, принимающей счетное множество значений, в котором вероятности возможных значений определяются по формуле Пуассона

,

где - параметр распределения.

Числовые характеристики распределения Пуассона равны между собой

М(Х)=D(Х)=l=n·р.

Геометрическое распределение

Пусть Х есть дискретная случайная величина, представляющая собой число испытаний, которое нужно провести до первого появления события А. Её возможные значения - это натуральные числа х₁ = 1, х₂ = 2, …

Пусть в первых k -1 испытаниях событие А не наступило, а в k-ом появилось. По теореме умножения вероятностей

Р(Х=k) = q^k-1 р.

Последняя формула представляет собой члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом р и знаменателем q (0< q <²)

р, рq, рq² ,…,рq ⁱ,…

По этой причине распределение называют геометрическим. Сумма вероятностей равна сумме членов прогрессии

.

Пример 1. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель р = 0,6. Составить закон распределения случайной величины - числа произведенных выстрелов.

Число выстрелов есть счетная дискретная величина. Вероятность попадания при k - ом выстреле есть Р(Х=k) = 0,4 ^k-1 · 0,6, а закон распределения имеет вид

k	1	2	…	k	…
P	0,6	0,24	…	0,4k-10,6	…

Контроль: (как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии).