Теорема Эйлера-Даламбера о конечном повороте

Любое перемещение твёрдого тела, имеющего одну неподвижную точку, можно осуществить одним конечным поворотом вокруг оси, проходящей через эту точку.

Для чего нам нужна эта теорема? Чтобы ответить на следующий вопрос: можно ли бесконечно, малые углы поворотов, произведённых последовательно друг за другом, складывать по правилу параллелограмма (как векторы)?

Угловая скорость,угловое ускорение

Введём "вектор" малого поворота,равный по величине углу поворота и направленный по оси вращения в такую сторону, чтобы, глядя с его острия видеть вращение происходящим против часовой стрелки. Вектор малого перемещения при таком бесконечно малом вращении может быть найден по формуле

.

Произведём два последовательных поворота. После первого поворота на угол ,векторпереместится в положение

.

После второго поворота на угол векторпереместится в положение

В силу малости иподчёркнутым слагаемым можно пренебречь как величиной более малого порядка, чем остальные компоненты формулы.

.

Но по теореме Эйлера-Даламбера суммарное движение можно записать в виде формулы описывающей один поворот на угол :

.

Сравнивая последние формулы между собой, получим

.

Т. е. бесконечно малые углы поворота можно считать векторами и складывать по правилу параллелограмма.

Введём определение угловой скорости и углового ускорения:

.

Угловое ускорение равно линейной скорости конца вектора угловой скорости .

Т. к. вектор может быть представлен в виде суммы двух или нескольких поворотов

Используя в качестве описанных углов углы Эйлера, получим важную формулу:

.

Скорость точки тела, участвующего в сферическом движении

Найдем скорость точки тела, участвующего в сферическом движении. Эта формула носит имя Эйлера.

Вычислим предел отношения малого перемещения точки к малому промежутку времени, в течение которого он происходил при :

.

Окончательно

где угловая скорость тела относительно мгновенной оси вращения.

Используя формулы аналитической геометрии, векторное произведение представим в виде

.

Раскрыв определитель, получим формулы Эйлера в неподвижной системе координат

Аналогично можно получить формулы Эйлера в подвижной системе координат, для чего нужно формально произвести в предыдущих соотношениях замену на ,на ,и т. д.

Мгновенная ось вращения

Мгновенная ось вращения —геометрическое место точек, скорость которых в данный момент времени равна нулю. Мгновенная ось вращения —ось бесконечно малого поворота тела, определяется из уравнения (рис.1.7):

где М — произвольная точка, лежащая на оси вращения.

Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе координат можно записать в виде , или в подвижной системе координат

Рис. 1. 7. Скорость и ускорение точки при сферическом движении твердого тела

Перемещаясь в пространстве и внутри тела, Мгновенная ось опишет собой конические поверхности, которые называются соответственно неподвижным и подвижным аксоидами. Для получения уравнений этих поверхностей необходимо из уравнений мгновенной оси вращения исключить время.

Подвижный аксоид катится без проскальзывания по неподвижному. Данный вывод следует из равенства нулю скоростей точек мгновенной оси вращения, которая является в текущий момент общей для неподвижного и подвижного аксоидов.