Потенциальная энергия системы

Потенциальная энергия системы с степенями свободы в общем случае является функцией обобщённых координат

.

Рассмотрим только малые смещения системы из положения равновесия. В этом случае обобщённые координаты, отсчитываемые от равновесного положения, можно рассматривать как величины первого порядка малости.

В положении равновесия системы потенциальную энергию можно принять равной нулю. Удерживая в разложении потенциальной энергиив ряд Маклорена только члены второго порядка малости, получаем

.

Обозначим

,;,

где постоянные имеют название коэффициентов жёсткости. Таким образом, приближённое выражение для потенциальной энергии системы окончательно принимает вид квадратичной функции от обобщенных координат:

.

Для систем с одной степенью свободы потенциальная энергия вычисляется, следовательно, по формуле:

.

Кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия — однородная квадратичная функция обобщённых скоростей с коэффициентами, являющимися функциями обобщённых координат

,

где — симметричная матрица коэффициентов.

Так как рассматриваются малые колебания системы, то ограничимся в разложении коэффициентов в ряд Маклорена только первыми постоянными членами, которые обозначим так:.

Кинетическая энергия системы приближённо представится в форме:

,

где — симметричные коэффициенты инерции.

Отсюда для системы с одной степенью свободы

.

Диссипативная функция Рэлея

Пусть на любую точку системы, имеющую степеней свободы, действует сила сопротивления пропорциональная первой степени скорости

,

где — коэффициент сопротивления.

Силе сопротивления сопоставляется диссипативная функция Рэлея, характеризующая быстроту рассеивания (диссипации) энергии системы

,

которую при стационарных связях можно представить следующим образом:

,

где.

Для системы с конечным числом степеней свободы, ограничиваясь в разложении коэффициентов в ряд Маклорена только первыми членами, получим выражение функции рассеивания Рэлея в виде однородной положительной квадратичной функции обобщённых скоростей

,

где — постоянные, называемые коэффициентами диссипации или приведёнными коэффициентами сопротивления.

Отсюда для системы с одной степенью свободы

.

Уравнение ЛагранжаIIрода

Уравнение Лагранжа IIрода для механической системы со стационарными голономными связями в общем случае неконсервативных (не потенциальных) сил запишется в виде

,

где — кинетическая энергия системы,

,,— обобщенные потенциальные силы, обобщенные силы сопротивления и обобщенные неконсервативные силы соответственно.

Свободные колебания системы

Рассмотрим движение голономной механической системы с одной степенью свободы под действием упругой силы, обладающей потенциалом. Положение системы определяется одной обобщённой координатой, которую будем отсчитывать от равновесного состояния. Тогда движение системы будет описываться одним уравнением ЛагранжаIIрода:

Подставляя значения кинетической и потенциальной энергии в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний системы.

,

где — частота свободных колебаний механической системы.

Решение этого уравнения можно записать в виде

или,

где — константы, определяемые из начальных условий:

,или,.

— начальное положение и начальная скорость.

Типичный график движения механической системы, определяемый данным уравнением, изображен на рис. 3. 9. Коэффициенты интегрирования,имеют вполне определенный механический смысл (см. рис. 3. 9):

• — амплитуда свободных колебаний,

• — начальнаяфаза колебаний.