Вращательное движение тела

Движение тела относительно данной системы отсчёта называется вращательным, если две его точки неподвижны относительно этой системы отсчёта. Прямая, соединяющая эти точки, называется осью вращения. Положение тела при вращении определяется углом поворота между неподвижной плоскостью (например) и плоскостью, жёстко связанной с телом (рис.1.5). Уравнение вращательного движения имеют вид зависимости угла поворота от времени

.

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью, которая характеризуется не только величиной, но и направлением вращения. Угловая скорость равна производной от угла поворота по времени:

.

Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости и равно

.

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения. Направления исовпадают, если совпадают знаки первой и второй производных от угла вращения по времени.

Все точки вращающегося тела описывают при движении окружности с радиусами, равными расстояниям от соответствующих точек до оси вращения и движение точки можно считать заданным естественным способом:.

Скорость точки может быть определена по формуле Эйлера (рис.1.5).

,.

Ускорение точки тела при вращательном движении равно

,

где,— касательное ускорение точки; а,— нормальное ускорение.

Часто составляющую называют вращательным ускорением, составляющую— центростремительным.

Модуль полного ускорения определится формулой .

Угол наклона полного ускорения к направлению главной нормали не зависит от выбора точки.

Рис. 1. 5. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Из приведённых формул видно, что:

• скорость и ускорение точки тела при вращательном движении пропорциональны расстояниям до оси вращения,

• скорость точки перпендикулярна к радиусу окружности;

• ускорение точки отклонено от радиуса окружности на угол не зависящего от выбора самой точки.

Сферическое движение твердого тела Определение сферического движения.

Сферическим движением называется движение твердого тела имеющего одну неподвижную точку (рис.1.6). Описание такого движения имеет первостепенное значение при анализе работы гироскопов, кораблей, самолётов, снарядов, ракет и небесных тел. Тело, совершающее сферическое движение имеет три степени свободы.

Рис. 1. 6. Сферическое движение твердого тела (Углы Эйлера)

Тело, совершающего сферическое движение, привести в заданное положение можно с помощью трех конечных поворотов, называемых углами Эйлера (рис.1.6). Первый поворот произведём вокруг оси неподвижной системы координатугол прецессии. Второй поворот произведём вокруг линии узловна угол нутации . Третий поворот осуществляется вокруг осина угол собственного вращения. После третьего поворота тело и оси подвижной системы координатсвязанные с ним займут заданное положение. При движении тела в каждый момент времени углы Эйлера являются функциями времени:

Эти зависимости называются кинематическими уравнениями сферического движения.

Вектор, определяющий положение точки в неподвижной и подвижной системах отсчета, равен

,

а координаты точки связаны при помощи матрицы преобразования

где