Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 9 График свободных колебаний без учета сопротивления

Величина обратная частоте свободных колебаний называется периодом колебаний и определяется выражением .

Затухающие колебания системы

Если на любую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы, действует сила сопротивления пропорциональная первой степени скорости, то уравнение ЛагранжаIIрода можно записать в виде

.

Подставляя выражения для кинетической, потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа IIрода, получим

где — коэффициент демпфирования (затухания).

Т.к. корни характеристического уравнения соответствующие данному дифференциальному уравнению определяются выражениями

,

то его решение зависит от соотношений между коэффициентами и:

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 10 Апериодическое движение при большом сопротивлении

• — решение имеет вид (рис. 3. 10):

;

• — решение имеет вид (рис. 3. 10):

,

где — также как и в случае колебательного движения без сопротивления, константы интегрирования, определяемые из начальных условий.

При движение механической системы имеетапериодический характер, типичный график которого, изображен на рис. 3. 10.

• — (случай малого сопротивления) решение имеет вид (рис. 3. 11):

или.

Здесь — называется частотой свободных затухающих колебаний,— относительный коэффициент затухания, константы интегрированияопределяются из начальных условий:

,.

Величина — как и в случае колебаний без учета сопротивления, называется начальной фазой колебаний. Коэффициентопределяет координату пересечения образующей графика—с осью.(см. Рис. 3. 11)

Ошибка! Закладка не определена.

Рис. 3. 11 Свободные затухающие колебания.

Период затухающих колебаний определяется соотношением

.

Степень затухания колебательного движения определяется декрементом колебаний, который определяется отношением двух последовательных максимумов кривойили логарифмическим декрементом:

.

Вынужденные колебания системы

Пусть на некоторую точку механической системы с наложенными стационарными голономными связями, кроме упругой силы и силы сопротивления пропорциональной первой степени скорости, действует периодическое возмущение. Характер такого возмущения может иметь разные причины. Наиболее часто встречаются случаи силового и кинематического возмущения. В качестве примера рассмотрим динамическую модель машины, установленной на фундаменте (рис. 3. 12). Машина массой mявляется амортизируемым объектом, а фундамент – основанием. Амортизатор, помещенный между объектом и основанием, имеет приведённый коэффициент жёсткостии приведённый коэффициент демпфирования. На рис. 3. 12 (а) представлен случай силового возмущения, а на рис. 3. 12 (б) — случай кинематического возмущения.

При силовом возмущении уравнение Лагранжа IIрода для такой системы можно записать в виде

,

где обобщенная неконсервативная сила определяется выражением

,

а,,— амплитуда, частота и фаза возмущающей силы.