Теорема об изменении главного вектора кинетического момента

Первая производная по времени от кинетического момента системы, вычисленного относительно центра, равна геометрической сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, взятых относительно того же центра

.

Теорема о кинетическом моменте в относительном движении по отношению к центру масс

Теорема об изменении кинетического момента относительно центра масс в относительном движении сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра в абсолютном движении

.

Теорема об изменении кинетической энергии

Дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внутренних и внешних сил, действующих на систему

.

Проинтегрировав это соотношение, получим конечную формулировку данной теоремы

.

Её можно записать и в форме мощностей внешних и внутренних сил

.

Отличительной особенностью теоремы об изменении кинетической энергии системы состоит в том, что только в одной этой теореме из всех общих теорем динамики системы внутренние силы явным образом фигурируют в формулировке теоремы.

Закон сохранения механической энергии для точки и системы

Величина, равная сумме кинетической и потенциальной энергий (механической энергии), не меняется в процессе движения механической системы в потенциальном поле

.

Это соотношение является одним из первых интегралов движения — интеграл энергии. Из него следует, что увеличению кинетической энергии соответствует уменьшение потенциальной энергии и наоборот.

Механические системы, в которых выполняется этот закон, называются консервативными.

Принцип Даламбера

Если в произвольный момент времени к каждой из точек, входящих в систему, приложить кроме фактически действующих на неё внутренних и внешних сил силы инерции, то система будет находиться в состоянии покоя.

Главный вектор внешних сил уравновешивается главным вектором сил инерции

.

Главный момент внешних сил и главный момент сил инерции, вычисленные относительно произвольного центра, взаимно уравновешиваются

.

Принцип Лагранжа (принцип возможных перемещений)

Для равновесия механической системы с удерживающими идеальными стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю

.

Простота выражения элементарной работы через обобщённые силы и независимость вариаций обобщённых координат друг от друга позволяет записать принцип Лагранжа в виде

, где.

Т.е. для равновесия механической системы с идеальными, удерживающими связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщённые силы равнялись нулю.

Для консервативной механической системы условия равновесия примут вид

, где.

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики системы получается при последовательном применении к ней вначале принципа Даламбера, а затем принципа Лагранжа

или.

При любых движениях системы с идеальными связями в каждый момент времени выполняется условие равенства нулю суммы элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении.

Уравнения ЛагранжаIIрода

Уравнения Лагранжа IIрода имеют вид

.

Число уравнений Лагранжа IIрода равно числу степеней свободы голономной системы. Сами уравнения с точки зрения математика представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных обобщённых координат, рассматриваемых как функции времени.

Для консервативных голономных систем уравнения Лагранжа имеют вид

,

где — функция Лагранжа.