Динамика несвободной материальной точки

Как уже говорилось ранее, основной закон динамики для несвободной материальной точки, а следовательно, и ее дифференциальные уравнения движения имеют такой же вид, как и для свободной точки. В этом случае к действующим на точку силам необходимо добавить силы реакций связей.

Пусть материальная точка движется по заданной гладкой неподвижной поверхности, уравнение которой в декартовой системе координат задано выражением. Применяя принцип освобождаемости от связей, и составляя основное уравнение динамики несвободной точки, получим:

,

где — равнодействующая активных сил, действующих на точку,— неизвестная реакция связи, действующая по внешней нормали к поверхности.

Проектируя это уравнение на оси декартовой системы координат, получаем дифференциальные уравнения движения точки по гладкой поверхности:

,,

Из дифференциальной геометрии известно, что выражение единичного вектора внешней нормали к поверхности определяет вектор – градиент, задаваемый формулой

,

где — модуль вектор – градиента

Поэтому направляющие косинусы вектора и, следовательно, нормальной реакции опорык поверхностиопределяются выражениями:

.

С учетом последних формул уравнения движения несвободной точки перепишутся в виде:

где — множитель Лагранжа.

Полученные дифференциальные уравнения — уравнения Лагранжа первого рода для несвободной материальной точки; вместе с уравнением связи позволяют определить четыре неизвестныекак функции времени. Алгебраическое значение нормальной реакции находится затем по формуле.

При движении материальной точки по негладкой поверхности, кроме нормальной реакции возникает сила трения, направленная против вектора скорости точки, величину которой можно определить векторным выражением

,

где — предельное значение силы трения,— коэффициент трения.

Дифференциальные уравнения движения точки в этом случае запишутся в виде

При движении точки по заданной гладкой пространственной кривой необходимо учесть, что кривую линию в пространстве можно рассматривать как геометрическое место пересечения двух поверхностей и.

Эти поверхности создадут для движущейся точки две нормальные реакции и, и поэтому полная нормальная реакция пространственной кривой. Дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода в этом случае примут вид

где соответственно

Совместно с двумя уравнениями поверхностей получаем пять уравнений для определения пяти неизвестных величин как функции времени.

При движении точки по плоской кривой удобно использовать естественную систему координат. Проектируя векторное уравнение на оси и(касательную и главную нормаль к траектории), получим

Эти уравнения называются уравнениями движения несвободной точки в форме Эйлера. Уравнения движения несвободной точки в форме Эйлера с учётом трения запишутся в виде:

Добавив к ним закон Кулона, будем иметь систему уравнений, достаточную для определения закона движенияи сили.

Динамика относительного движения точки

Рассмотрим движение материальной точки под действием равнодействующей силы. Выберем две системы отсчета (рис. 3. 1): подвижнуюи неподвижную. Известно, что основной закон динамики в абсолютном движении, т.е. относительно неподвижной системы имеет вид:.

Рис. 3. 1 Сложное движение точки.

Из кинематики известно, что абсолютное ускорение можно вычислить по теореме Кориолиса:

,

где — переносное ускорение;— ускорение Кориолиса;,— относительная скорость и относительное ускорение.

Подставляя эти соотношения в основной закон динамики, получим

или.

Назовём дополнительные слагаемые в правой части уравнения соответственно переносной и кориолисовойсилами инерции. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки примет вид

Система отсчёта, в которой основной закон движения записывается в данной форме, называется неинерционной.