Кинематика точки Способы задания движения точки

Существуют три способа задания движения точки.

Векторный способ.

Положение точки определяется радиус-вектором (рис.1.1), проведённым в данную точку из неподвижного начала отсчёта.

.

С течением времени радиус-вектор будет изменяться, поэтому он является некоторой заданной векторной функцией времени . Это уравнение называется уравнением движения точки в векторной форме.

Непрерывная кривая, с точками которой в каждый момент времени совпадает движущаяся точка, называет траекторией. По отношению к различным системам отсчёта точка будет описывать разные кривые. Следовательно, траектория относительное понятие.

Геометрическое место концов переменного вектора называется годографом. Таким образом, траектория точки есть годограф радиус-вектора этой точки.

Координатный способ.

Положение движущейся точки относительно выбранной системы отсчёта определяется её координатами в каждый момент времени (рис. 1.1):

Рис. 1. 1. Движение материальной точки

Функции должны быть однозначными, непрерывными и, по крайней мере, дважды дифференцируемыми.

Уравнения движения точки в координатной форме можно рассматривать и как уравнения траектории в параметрическом виде. Если исключить из этих уравнений параметр, то получим уравнение траектории, как пересечение двух поверхностей

Естественный способ.

Если известен вид траектории, то движение точки удобно задать естественным способом (рис. 1.2). Для этого на траектории назначают начало отсчёта (точка О), направление отсчёта и записывают зависимость дуговой координаты от времени

.

Функция по самой природе механического движения должна быть непрерывной и однозначной.

Рис. 1. 2. Естественный координатный базис

С траекторией точки можно связать естественныйкоординатный базис: единичные векторы касательной —, главной нормали —и бинормали к траектории. Здесь— радиус кривизны траектории.

Эти три вектора образуют естественный репер, вдоль них идут естественные оси. Координатные плоскости образуют сопровождающий трёхгранник и носят названия: плоскость (,) — соприкасающаяся, плоскость (,) — нормальная, плоскость (,) — спрямляющая.

Скорость точки

Рассмотрим понятие скорости точки при различных способах задания движения.

Скорость точки при векторном задании движения.

Скорость — одна из кинематических характеристик движения точки. Это векторная величина, отражающая быстроту изменения положения точки в пространстве. Пусть в момент времени точка занимала положение М и её радиус-вектор есть. По истечении промежутка времениточка занимает новое положение, определяемое радиус вектором. Изменение радиус-вектора за времяравно(рис. 1.3).

Рис. 1. 3. Скорость точки

Изменение радиуса-вектора за единицу времени численно равно так называемой средней скорости . Для характеристики быстроты движения в данный момент времени вводим понятие мгновенной скорости как предел, к которому стремится средняя скорость при

.

Таким образом, при векторном задании движения скорость определяется как производная от радиус вектора по времени.

Скорость точки при координатном задании движения.

Координаты точки М одновременно являются и координатами её радиус-вектора. Поэтому координатное задание движения точки эквивалентно заданию движения её векторным способом. Разложим вектор скорости точки и её радиус-вектор в направлении координатных осей:

.

Согласно определению, данному выше, вектор скорости равен производной от радиус-вектора движущейся точки по времени

.

Сравнивая эту формулу с предыдущими соотношениями, убеждаемся, что проекция скорости на какую-либо ось равна производной от соответствующей координаты по времени

В силу ортогональности составляющих вектора скорости, легко определить её модуль и направляющие косинусы