Основная теорема статики

Произвольную систему сил, действующих на твёрдое тело, можно, в общем случае, привести к силе и паре сил.

Пусть на тело действуют сил,,…произвольно расположенные в пространстве. Выберем произвольный центр приведения в теле. Пользуясь доказанной выше леммой, приведём каждую из сил к выбранному центру. Получим систему сходящихся сил,,…и систему пар (;), (;),… (;). Система сходящихся сил, как известно, эквивалентна векторной сумме

,

а систему пар сил можно заменить эквивалентной парой с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар

или

Вектор для исходной системы,, …не является равнодействующей и называется главным вектором исходной системы. Векторназывается главным моментом. Таким образом, исходная система заменена силойи парой сил:

,

Сравнение понятий главного вектора и равнодействующей.

Разберем еще один вопрос — в чем состоит разница понятий главного вектора системы сил и равнодействующей? Главным вектором называют силу, равную векторной сумме всех действующих в системе сил:

В отличие от равнодействующей, величину которой находят (когда она существует) по той же формуле, при определении главного вектора не конкретизируется точка приложения этой силы. Равнодействующая полностью заменяет собой систему сил, она эквивалентна ей. Равнодействующая не всегда существует. Простейший пример системы сил не имеющей равнодействующей — это пара сил и, линии действия которых параллельны, величины равны, направления — противоположны.

В случае неуравновешенной сходящейся системы сил равнодействующая существует. Она равна по величине главному вектору и приложена в точке пересечения линий их действия

Зависимость между главными моментами, вычисленными относительно различных центров приведения

Выберем в теле два центра приведения и. Запишем выражения для главных моментов относительно этих центров

,

Из рисунка видно, что радиус-векторы точек приложения произвольной силы относительно этих центров связаны выражением

Подставляя его в выражение для второго главного момента, получим

Таким образом, главный момент системы сил относительно второго центра равен главному моменту относительно первого центра плюс момент главного вектора, приложенного к первому центру, относительно второго центра.

Инварианты системы сил

Инвариантами называются векторные или скалярные параметры, которые не зависят от преобразования координат. В системе сил, как мы видим, таким параметром является главный вектор. Его называют векторным инвариантом системы сил. Главный момент инвариантом не является, так как он различен для различных центров приведения. Однако инвариантом служит скалярное произведение главного вектора на главный момент. В самом деле

Отсюда также вытекает, что инвариантом является и проекция главного момента на направление главного вектора

Частные случаи приведения системы сил к центру

Исходя из рассмотрения скалярного инварианта, все случаи приведения системы сил можно классифицировать следующим образом:

При равенстве нулю скалярного инварианта:

• Главный вектор не равен нулю (), а главный момент равен нулю (). Система приводится к равнодействующей, равной главному вектору;

• Главный вектор равен нулю (), а главный момент не равен нулю (). Система приводится к паре сил с моментом, равным главному моменту системы;

• Главный вектор и главный момент не равны нулю (,), но угол между ними равен. В этом случае возможно дальнейшее упрощение

Система приводится к равнодействующей силе, но линия её действия отстоит от первоначального центра приведения на расстоянии

• Главный вектор и главный момент равны нулю. Система уравновешена:

В случае, когда скалярный инвариант не равен нулю, полезно рассмотреть следующие варианты приведения сил:

Угол между главным вектором и главным моментом равен 0 или 180°. Такая комбинация главного вектора и главного момента называется динамой или динамическим винтом. Линия, вдоль которой действуют оба вектора называется осью динамы.

Угол между главным вектором и главным моментом произволен. В этом случае возможно упрощение

В этом случае система приводится к динаме, ось которой отстоит от первоначального центра приведения на расстоянии

Сведём все случаи, рассмотренные выше, в таблицу:

1	,	Равнодействующая
2	,	Пара сил
3	, ,	Равнодействующая
4	,	Равновесие
5	, ,	Динама