Рис. 6.35.

3. Увеличение азимутального индекса n приводит к азимутальному развитию структуры поля. Поперечные структуры волн Е21 и Е41 приведены соответственно на Рис.6.36 и 6.37.

Рис. 6.36. Рис. 6.37.

4. Увеличение радиального индекса i дает радиальное развитие структуры поля. Для иллюстрации на рис.6.38 приведен сектор структуры волны

Е24.

/

Рис. 6.38.

6.11.Магнитные (Н) волны в круглом волноводе

Врассматриваемом случае краевая задача для ψvm имеет вид

68

где а – внутренний радиус волновода.

Общее решение (6.40) получено в предыдущем разделе:

ψnim = J m ( ni r)cos nϕ .

Подчиним это решение условию (6.41):

Jm′ ( ni a)= 0 ,

откуда следует, что ni = µani , где µni - i-й корень производной по аргументу

Собственное значение ni = µani , соответственно критическая длина волны λmni определяется следующим образом:

Используя (6.42) и правила построения структуры Н-волн, рассмотрим структуру некоторых типов Н-волн в круглом волноводе.

1.Структура волны Н01 изображена на Рис.6.39. Нулевой азимутальный индекс указывает на то, что волна – азимутально-симметричная.

Рис. 6.39.

69

Рис. 6.40.

2. Несимметричная волна Н11 изображена на Рис.6.40. Это волна явля-

ется доминантной – её критическая длина волны λm = 2πa максимальна сре-

11 µ11

ди других, как Нni, так и Еni волн.

3. Азимутальное развитие структуры Н-волн с увеличением азимутального индекса n иллюстрируется на Рис.6.41 (Н21 волна) и Рис.6.42 (Н41 волна).

Рис. 6.41. Рис. 6.42

Н-волны с высоким азимутальным индексом нашли применение в гиротронах – сверхмощных генераторах миллиметрового диапазона на циклотронном резонансе. Эти волны также называются модами шепчущей галереи – по аналогии с известным акустическим феноменом Тадж-Махала.

4. Радиальное развитие структуры поля Н-волн с увеличением радиального индекса i иллюстрируется на Рис.6.43, где приведен сектор распределения поля волны Н24.

Рис. 6.43.

Остановимся на спектре собственных волн круглого волновода и определим его рабочий диапазон. Как следует из (6.38) и (6.43), распределение

70

vni , µni - соответственно корни функций Бесселя n-го порядка (vni ) и их производных (µni ). Поскольку J0′ (x)= −J1(x), µ0i ≡ v1i и критические длины

волн Н0i и Е1i одинаковы. Для других значений n вырождение отсутствует.

Наибольшую критическую длину волны имеет волна Н11: λ11m = 12,π84a . Бли-

жайшая к ней – волна Е01. Для нее λe01 = 22,405πa . Поэтому максимальный рабочий диапазон круглого волновода определяется как 22,405πa < λ < 12,π84a . При

этом отношение λmax =1,3. Нетрудно заметить, что доминантная волна круг-

λmin

лого волновода является прообразом волны Н10 прямоугольного. На Рис.6.44 показана трансформация круглого волновода в прямоугольный и соответственно волны Н11 круглого волновода в волну Н10 прямоугольного.

Рис. 6.44.

6.12. Потери и затухание волн в волноводах

Можно выделить три группы факторов, приводящих к потерям электромагнитной энергии в волноводе.

1.Потери в среде, заполняющей волновод (Pcp ).

2.Неидеальная проводимость стенок (Pσ ).

3.Излучение через щели и окна связи в стенках, а также через элемен-

ты связи с внешними цепями (PΣ ).

Третий вид потерь имеет специфический характер и связан с конкретными конструкциями. Поэтому мы остановимся на первых двух видах потерь.

1. Потери в среде (Pcp ). Полагаем Pσ = 0, PΣ = 0.

В случае электрических и магнитных потерь в среде εa и µa являются комплексными:

ε&a = εa′ − jεa′′ = εa e− j∆E ,

71

µ&a = µa′ − jµa′′ = µae− j∆M ,

где ∆E, ∆M - соответственно углы диэлектрических и магнитных потерь. Волновое число для свободного пространства также оказывается ком-

плексным:

Соответственно постоянная распространения для любой собственной волны в волноводе также будет комплексной:

Обратим внимание на то, что v2 , как было доказано выше, действи-

тельное положительное число.

Под индексом собственной волны v понимается сочетание индексов m, n (прямоугольный волновод) или n, i (круглый волновод).

Из (6.44) получаем

βv2 −αv2 − j2αvβv =ω2εaµae− j(∆E +∆M ) − v2 ,

или

2αv βv = ω2εa µa siп(∆E + ∆M ),

βv2 −αv2 = ω2εa µa cos(∆E + ∆M )− v2

Впрактически важных случаях αv<<βv, cos(∆E+∆M)→1, sin(∆E+∆M)≈ ∆E+∆M. В этом случае получаем

βv = ω2εa µa − v2 ,

Применим энергетический подход, основанный на использовании теоремы об активной мощности.

Представим компоненты собственной волны следующим образом:

72

где q1, q2 - поперечные, в общем случае криволинейные координаты. Рассчитаем мощность, переносимую v-й волной через поперечное сечение волновода S , используя определение плотности потока энергии – век-

dPdzzv = −2αv Pzv (считаем, что S =Const).

Таким образом, постоянную затухания αv можно определить как dPzv

активной мощности для собственной волны в волноводе (источники находятся вне рассматриваемого объема, Pa=0).

Рассмотрим элементарный объем внутри волновода (Рис.6.45)

Рис. 6.45.

Полная замкнутая поверхность, ограничивающая выделенный элементарный объем,

S=dSбок+S 1+S 2.

73

где l - контур сечения волновода.

Ввиду бесконечной малости dz можно записать

Pzv2 = Pzv1 + ddzPzv dz .

Тогда из (6.44) получаем

Воспользуемся приближенным граничным условием Леонтовича на поверхности неидеального проводника:

С учетом (6.48) подинтегральное выражение в уравнении (6.47) можно преобразовать следующим образом:

74

Используя полученный результат в (6.45), приходим к следующей формуле постоянной затухания, связанной с потерями в металлических стенках волновода:

смысл формулы (6.49): потери обусловлены токами, текущими в неидеально проводящих стенках волновода.

Типичные частотные зависимости αv для различных типов волн приведены на Рис. 6.46:

Рис. 6.46.

1– волна Н10 для прямоугольного волновода,

2– Н11 для круглого волновода,

3– Н01 для круглого волновода.

ственно уменьшается (если принять, что Er&v Hr&v те же, что и в волноводе без потерь, то 2Pvz ≈ 1− ffv → 0 при ffv →1).

75

Картина парциальных волн Бриллюэна дает в этом случае простое фи-

зическое объяснение: при ffv → 0 угол отражения от стенок Θv→ 0 и число

отражений парциальных волн от стенок неограниченно возрастает на конечном отрезке волновода; при каждом отражении малая, но конечная часть энергии проходит в стенку. В результате погонные потери неограниченно возрастают. Это, конечно, идеализированные представления, не учитывающие изменение структуры поля вблизи неидеального проводника. На самом

и достаточно большой величиной. Строго говоря, частота отсечки fv при конечной проводимости стенок не существует, поскольку при любой частоте есть поток энергии в направлении стенок, а следовательно, и продольный поток энергии.

тонно возрастать. Это связано с тем, что с ростом частоты возрастает Wσ0 и

поэтому улучшается «согласованность» стенки и внутренней среды, заполняющей волновод. В результате все большая часть энергии уходит в стенку.

Однако для симметричной волны Н01 в круглом волноводе это не так: с

мость связана со структурой поля волны Н01 у стенки волновода: здесь име-

уменьшается по отношению к составляющей Нt, определяющей продольный поток мощности волны. Соответственно при заданной переносимой волной мощности уменьшаются и азимутальные токи в стенках. Конечно, на практике реализовать такое уникальное свойство волны Н01 (и вообще волн Н0i) не просто: незначительная эллиптичность волновода или его изгиб приводят к преобразованию волн Н0i в несимметричные, которые имеют значительные потери. За счет такого преобразования α01 волны Н01 возрастает.

76

ГЛАВА VII

ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ ВОЛНОВОДОВ СТОРОННИМИ ИСТОЧНИКАМИ

7.1. Лемма Лоренца. Теорема взаимности

Выведем из уравнений Максвелла тождество, связывающее два гармонических поля, не существующие одновременно, но возбуждаемые в одном и

го поля систему УМ в комплексной форме:

(7.4)

= ∫{(δr&e1Er&2 −δr&e2Er&1 )−(δr&m1Hr&2 −δr&m2Hr&1 )}dV .

V

Уравнение (7.4) и представляет собой формулировку леммы Лоренца.

Заметим, что при выводе леммы Лоренца полагались равными нулю разности (µ&a Hr&1 )Hr&2 −(µ&a Hr&2 )Hr&1, (ε&a Er&1 )Er&2 −(ε&a Er&2 )Er&1.

77

Таким образом, лемма Лоренца в приведенной формулировке справедлива только для линейных и изотропных сред, что не следует забывать при ее применении.

Рассмотрим лемму Лоренца в безграничном пространстве, т.е. при S→ ∞. В соответствии с теоремой единственности все источники должны оставаться на конечном расстоянии от центра S, а

∫S { Er&1, Hr&2 − Er&2 , Hr&1 } ndSr → 0 при S→ ∞ ,

тогда получаем

V

Уравнение (7.5) представляет собой общую формулировку теоремы

или

Pr&1Er&2 (1)− Pr&2Er&1 (2).

Таким образом, смысл теоремы взаимности: действие диполя 1 на диполь 2 равно действию диполя 2 на диполь 1. Использование этой теоремы может быть очень широким, особенно в антенной технике. В частности, из

78

теоремы единственности следует, что свойства антенны при работе на прием и на передачу одинаковы. Соотношения типа (7.6) имеют место и для маг-

нитных диполей:

Mr&1Hr&2 (1)= Mr& 2Hr&1 (2).

Имеют место, естественно, и смешанные теоремы единственности для

электрических и магнитных диполей:

Pr&1Er&2 (1)= −Mr& 2Hr&1 (2) .

Не следует, однако, забывать, что теорема взаимности, как и лемма Лоренца, из которой она следует, справедлива только для линейных и изотропных сред.

ные волны – свободно распространяющиеся волны в регулярном волноводе на частоте ω вне области источников. Их можно представить упорядоченно и каждой приписать номер S.

Волна с номером S имеет компоненты Hr&S , Er&S и постоянную распро-

странения в +Z направлении hS (ω). Волне того же типа, но распространяющейся в -Z направлении, припишем номер -S. Её постоянная распространения

h-S= - hS.

Запишем компоненты попутной (+Z) и встречной (-Z) волн в следующей форме:

в идеальном случае.

тем, что для собственных волн δe1 =δe2 =δm1 =δm2 = 0. Тогда из (7.4) имеем

79

Выберем объем V и границу S в волноводе, как показано на рис.7.1

Рис. 7.1.

Как следует из рис.7.1, S=Sδ+S 1+S 2. Используя (7.7), получаем:

JSS′ = ∫{ Er&S Hr&S′ − Er&S′Hr&S }Z0dS ,

S

S - площадь поперечного сечения волновода.

Для регулярного волновода ни S , ни поперечные распределения полей не зависят от Z. Поэтому можно записать

JSS ′(Z2 )= JSS ′(Z1 )e− j(hS +hS′ )(Z 2 −Z1 ).

Таким образом, (7.10) может выполняться только в двух случаях:

1)JSS ′(Z )= 0 при любых Z;

2)hS ′ = −hS или S′ = −S .

В результате получаем условие ортогональности собственных волн регулярных волноводов в форме

80