Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004
.pdf
|
|
|
ur |
= Pvσ + PvΣ, а Pvcm = 0. |
В рассматриваемом случае ∫S0v dS |
||||
|
|
|
S |
|
Таким образом, получаем |
|
|||
|
dWv |
+ P |
= 0 . |
|
|
|
|
||
|
dt |
vΠ |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что в соответствии с определение (11.26) PΠv = ωv Wv , при-
Qv
ходим к следующему уравнению для Wv свободных колебаний:
|
dWv |
+ |
ωv W = 0 |
|
|
(11.27) |
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
v |
|
|
|
|
|
|
Qv |
|
|
|
|
||
Из (11.27) имеем W (t)=W |
− |
ωv |
t |
||||
|
|||||||
e |
Qv , где Wv0 - начальное (в момент t=0) |
||||||
|
|
|
v |
v0 |
|
|
|
значение Wv.
Таким образом, энергия свободных колебаний убывает во времени экс-
поненциально с постоянной затухания по времени α = ωv .
Qv
Примем во внимание то обстоятельство, что Wv - квадратичная относительно Ev, Hv функция:
Wv = 12 ∫{µa Hv2 + εa Ev2 }dVp
VP
По этой причине следует полагать, что амплитуды Ev, Hv свободных
|
|
|
|
|
|
|
− |
ωvt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2Qv . Это позволяет ввести понятие |
||
колебаний изменяются во времени как e |
|||||||||
о собственной комплексной частоте свободных колебаний: |
|||||||||
r |
r |
|
|
|
r |
r |
(r)e jω vt , |
||
E&v |
= Ev0 (r)e jω vt , H& v |
= H v0 |
|||||||
|
|
|
& |
|
|
& |
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
- комплексная собственная частота v-го вида колеба- |
|||||
2Q |
|
||||||||
где ωv = |
ωv 1 + |
|
|
||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
||
ний.
Вернемся к определению полной добротности Qv колебаний резонатора. Представим PvΣ=PvH+PvД, где PvH - мощность, излучаемая во внешние цепи (нагрузку), PvД - мощность дифракционных потерь самого резонатора. Тогда в соответствии с (11.26) имеем
1 |
= |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
, |
(11.28) |
|
Q |
Q |
Q |
Q |
Q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
v |
|
vcp |
|
vσ |
|
vД |
|
vH |
|
|
201
где: µσ - магнитная проницаемость стенок, σ - их удельная проводимость.
Подставляя (11.32) в (11.31), имеем
|
|
|
1 |
µ f π |
r& |
r& |
r& |
1 |
µ f π |
∫ Hvm2 τ |
|
Pσ v = − |
|
||||||||||
2 |
σσv |
∫(Hvn − Hv ) |
Hv*dS = |
2 |
σσv |
dS . (11.33) |
|||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
S |
|
Здесь Hvmτ - амплитуда касательной составляющей магнитной напряженности на стенке.
Используя (11.30) и (11.33), получаем
|
|
ωvWv = |
|
|
|
|
∫Hvm2 dV |
|
|
|
∫Hvm2 dVp |
|
|
Q |
= |
ωv µa |
π |
VP |
= |
2 µa VP |
, |
(11.34) |
|||||
vσ |
|
P |
µ |
σ |
f |
2 |
|
δ 0 µ |
σ |
2 |
|
|
|
|
|
σ v |
|
v |
|
∫Hvτ mdS |
|
|
∫Hvτ mdS |
|
|
||
|
|
|
|
σ |
|
S P |
|
|
|
S P |
|
|
|
−1
где: δ 0 = (π fv µσσ ) 2 - глубина проникновения (по ослаблению в е раз) поля
в стенку, δ 0 = ∆ fv− 12 [Гц]. для идеально гладкой стенки ∆=66 мм для меди,
62 мм для серебра, 127 мм для латуни.
Структура формулы для собственной добротности (11.34) указывает на то, что чем меньше область на стенках, занятая магнитным полем данного ν - го колебания, тем выше добротность. Поэтому увеличить собственную добротность (и существенно) можно, «оттеснив» магнитное поле данного колебания от стенки либо поместив вблизи их диэлектрики с достаточно высоким εa, либо за счет специальной конфигурации поверхности стенок (запирающие четвертьволновые канавки).
Приведем вычисленные по формуле (11.34) омические добротности некоторых колебаний в резонаторах простейших форм с гладкими стенками.
1. H101 колебание в прямоугольном резонаторе
Qvσ = |
µa abd (a2 + d 2 ) |
|
δ 0µσ [ad (a2 + d 2 )+ 2b(a3 + d 3 )]. |
||
2. E110 колебание в прямоугольном резонаторе |
||
Qvσ = |
µa abd (a2 + d 2 ) |
|
δ 0µσ [ad (a2 + d 2 )+ 2b(a3 + d 3 )]. |
||
3. E010 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе |
||
Qvσ = |
µa a d |
|
|
. |
|
µσδ 0 (d + a) |
||
203
4. H011 колебание в цилиндрическом круглом резонаторе
Qvσ = |
|
|
|
|
|
|
|
µab d |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
δ 0 |
µσ (2b − d ) |
|
|
+ d |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ = |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
µ |
01 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
π b |
|
|
|
|
|
|||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
204
ГЛАВА XII
ВОЗБУЖДЕНИЕ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ СТОРОННИМИ ТОКАМИ
12.1 Постановка задачи
Пусть задан конечный объем V, ограниченный замкнутой проводящей поверхностью S, характеризуемой комплексным поверхностным импедансом
W&σ . В объеме V заданы гармонические сторонние источники с плотностью
стороннего электрического тока δr&e = δre0 (r)e jω t и магнитного тока
δr&m = δrm0 (r)e jω t (рис. 12.1)
Рис. 12.1.
Будем считать, что потерь в среде, заполняющей резонатор (объем V), нет, среда однородна и изотропна, а также недисперсна. Эти условия можно записать в виде
Imεa = Imµa = 0, εa , µa ≠ f (r ), εa , µa ≠ f (ω). |
(12.1) |
Задача возбуждения резонатора может быть поставлена в виде следующей краевой задачи для неоднородных уравнений Максвелла
rot |
|
Hr& = jωεa Er& +δr&e ; |
|
(12.2) |
|||||
rot |
Er& |
= − jωµa Hr |
−δ& |
m. |
|||||
|
|||||||||
r |
|
|
|
r |
|
|
|||
[nr,E] |
S |
= −W [nr[nr |
,H ]] |
|
S |
(12.3) |
|||
|
|
σ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение краевой задачи (12.2), (12.3) естественно искать в виде разложения по собственным колебаниям того же резонатора без потерь (собственным функциям). Коэффициенты разложения можно определить на основе проекционного метода Б.Г. Галеркина.
12.2 Свойства собственных функций резонатора
205
Собственные функции резонатора без потерь являются решениями однородной краевой задачи для уравнений Максвелла
rot Hr& k |
= jωk εa Er&k |
; |
(12.4) |
||
r |
r |
|
|||
rot E&k = − jωk µa H&k . |
|
||||
r |
|
|
|
||
[nr,E&k ] |
|
|
S = 0 . |
|
(12.5) |
|
|
||||
Докажем некоторые свойства решений краевой задачи (12.4), (12.5).
1. Собственные значения (собственные частоты) ωk - вещественные (ввиду граничного условия (12.5) задача - самосопряженная).
Применяя операцию rot ко второму уравнению (12.4) и используя первое уравнение, имеем
rot rot Er&k = Kk2 Er&k , |
Kk =ωk2εa µa . |
(12.6) |
||
|
|
|
&* |
: |
Умножим обе части (12.6) скалярно на Ek |
||||
r |
r |
r |
r |
|
E& |
*k rot rot Ek = kk2 Ek E&*k . |
(12.7) |
||
Для преобразованной левой части (12.7) используем тождество
Er*k rot rot Erk = div[rot Er&k ,Er*k ]+ rot Erk rot Er*k .
Затем проинтегрируем обе части преобразованного уравнения (12.7) по vp и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса для первого члена слева. В результате получим
r r |
]n dS + |
r |
2 dVp = Kk2 |
r |
2 dVp . |
∫[rot Ek ,E*k |
∫ rot Ek |
∫ Ek |
|||
S |
|
Vp |
|
Vp |
|
В соответствии с граничным условием (12.5) для Ek* первый член оказывается нулевым, в результате чего имеем
|
∫ |
|
rot Er& |
|
2 dV |
||
|
|
|
|||||
Kk2 = ωk2εa µa = |
Vp |
|
|
|
|
|
(12.8) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Er&k |
|
|
|
||
|
∫ |
|
2 dV |
||||
Vp
206
Поскольку в (12.8) правая часть вещественная и положительная, при действительных и положительных εа, µа (что оговорено выше) получаем искомый результат: ωk - вещественны.
2. Собственные функции ортогональны в Vp с границей S. Рассмотрим наряду с системой (12.4) для Ek, Hk комплексно сопряжен-
ную систему для собственных функций Eq* , Hq* :
rot Hr&*q |
= − jωqεa Еr&*q |
; |
(12.9) |
r |
r |
|
|
rot E&*q |
= jωq µa H&*q . |
|
|
Умножим обе части второго уравнения (12.9) скалярно на Hk, а первое уравнение (12.4) - на - Eq* и сложим получившееся
Hr& k rot Er&*q − Er&*q rot Hr&k = div[Hr& k ,Er&*q ]= jωq µa Hr&*q Hr& k − jωqεa Er&k Er&*q . (12.10)
Проинтегрируем (12.10) по Vp с границей S. Применяя в левой части теорему Остроградского-Гаусса и граничное условие для Eq* на S (12.5), име-
ем |
r r |
r r |
|
|
|
||
|
ωq ∫µa H& k H&*q dV =ωk |
∫εa Ek E*q dV . |
(12.11) |
|
Vp |
Vp |
|
Аналогично, используя второе уравнение (12.4) и первое из (12.9), не трудно получить
ωk |
r |
r |
*q dV =ωq |
∫εa Ek E*q dV . |
|
|||||||||||
∫µa H k H |
(12.12) |
|||||||||||||||
Vp |
|
|
|
|
Vp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из системы (12.11), (12.12) находим |
||||||||||||||||
(ω2 |
−ω2 )h |
|
|
= 0, (ω2 |
−ω2 )e |
kq |
= 0, |
(12.13) |
||||||||
k |
q |
|
kq |
|
k |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||
h |
= ∫µ |
|
r |
|
|
r |
|
|
= |
∫ε |
|
E |
|
E* dV . |
||
a |
H |
k |
H* dV , e |
kq |
a |
k |
||||||||||
kq |
Vp |
|
q |
|
|
Vp |
|
|
q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При невырождении собственных колебаний идеального резонатора, т.е. при ωq≠ ωk, из (12.13) следует свойство ортогональности собственных функций
hkq = ekq =δkq Nk , |
(12.14) |
207
Подставляя эти выражения в (12.15), получаем уравнения для потенциалов φe и φm
|
ρe |
|
|
|
ρm |
|
2φe = − |
εa , 2φm = − |
µa |
, |
|||
|
|
∂∂φnr |
|
|
|
(12.16) |
φe |
= 0, |
S |
= 0. |
|
||
S |
|
|
|
|
|
|
Задача (12.16) имеет известные решения и на ней мы будем останавливаться.
Обратимся к расчету только соленоидальных полей E′, H ′, которые в дальнейшем для упрощения будем записывать без штрихов.
12.3 Уравнение возбуждения резонатора
|
|
r |
|
|
|
|
Система {Ek ,H k } - полная на множестве соленоидальных E′, H ′ в Vp. |
||||||
Используя ее как базис в L2(V), представим искомые соленоидальные E, H в |
||||||
виде |
|
|
|
|
|
|
r& |
& r& |
r& |
& |
r& |
|
(12.17) |
E = ∑ AS ES , |
H = ∑BS H S . |
|
||||
|
S |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
& |
& |
в (12.17) воспользуемся про- |
Для определения коэффициентов AS , BS |
||||||
екционным методом Галеркина. Заменим исходную систему (12.2) эквивалентной ей системой проекционных равенств
∫(rotHr& − jωεa Er& −δre )Er&*p dV = 0,
V |
jωµa Hr& +δrm )Hr&*p dV = 0, p = 1,2,... . |
|
∫(rotEr& +p |
(12.18) |
Vp
Непосредственно подставляя (12.17) в (12.18), однако, нельзя: ряды (12.17) сходятся вблизи S неравномерно ввиду различия граничных условий (12.3) и (12.5) и поэтому дифференциальные операторы rot к этим рядам неприменимы. Фактически с помощью рядов (12.17) ищется обобщенное решение краевой задачи (12.2), (12.3): граничные условия (12.3) удовлетворяются в среднем (А.С. Ильинский, Г.Я. Слепян. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. Изд. Моск. университета, 1983). Для того, чтобы обойти эту трудность, сделаем следующие преобразования в правых частях (12.18):
r&* |
r& |
r& |
r&* |
|
r& |
r& |
* |
, |
Ep |
rot H = H |
rot Ep + div H , Ep |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
209
r& * |
rot |
r& |
r& |
rot |
|
r& * |
|
r& * r& |
|
|
|
|
|
H p |
E |
= E |
|
H p − div H p , E , |
|
|
|
|
|||||
rot Er&*p = jω p µa Hr&*p , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
rot Hr&*p = − jω p µa Er&*p , |
|
|
|||||||||||
|
r& |
r&* |
|
|
|
r& r&* |
r |
|
r r&* |
|
r& |
= 0 , |
|
∫div H |
, Ep |
dV = ∫ |
H , Ep |
ndS = − ∫ |
n, Ep |
HdS |
|||||||
V |
|
|
|
S p |
|
|
|
Sp |
|
|
|
|
|
|
r& |
* r& |
|
|
|
r& * r& |
r |
& 0 |
∫ |
r r |
r |
r& * |
|
∫div H p , E dV = ∫ |
H p , E ndS =Wσ |
n n, H H pdS . |
|||||||||||
V |
|
|
|
Sp |
|
|
|
|
Sp |
|
|
|
|
Таким образом, дифференциальные операции над рядами (12.17) исключаются, и мы приходим к следующей системе линейных алгебраических
уравнений для определения A&p , B&p (используется свойство ортогональности
(12.14)):
|
|
& |
|
|
|
|
& |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=Vp |
, |
|
(12.19) |
||
jωp N p Bp − jω N p Ap |
|
||||||||||
|
|
|
& |
|
|
|
& |
|
& |
m |
, |
− jω р N p Ap |
+ jω N p Bp + ∑Ssp BS = −Vp |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
Vpe = ∫δre Er&*p dV , Vpm = ∫δrm Hr&*p dV , |
|
|
|||||||||
|
|
Vp |
|
|
|
|
|
Vp |
|
|
|
S |
|
& 0 |
r& |
|
r& |
* |
dS . |
|
|
|
|
sp |
=W |
∫ H |
sτ |
H |
pτ |
|
|
|
|||
|
σ |
S |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
Исключая из (12.19) Ap , получаем систему связанных уравнений отно- |
||||||||||||
сительно B&p : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ω2 |
− |
ω2 |
|
|
|
ω |
p |
|
|
||
j |
p |
|
|
|
B&p N p − ∑SSP B&S =Vpm + |
|
Vpe , |
(12.20) |
||||
|
|
ω |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
S |
ω |
|
||||
& |
|
ωp |
& |
|
Vpe |
|
|
|
|
|||
Ap = |
|
ω |
|
Bp + j |
|
, p =1,2,... . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ω N p |
|
|
|
|
||
Введем величину собственной омической добротности p-колебания резонатора Qp:
210