Кураев АА, Попкова ТЛ, Синицын АК 2004

где m0r, е – масса покоя и заряда электрона; с – скорость света; υ - его

скорость; A , Φ - векторный и скалярный потенциалы полного поля. Полная энергия электрона выражается как

Используя (23.1) – (23.3), получаем необходимое для дальнейших преобразований тождество. Для этого продифференцируем (23.3) по времени t и

23.2Поступательная (трансляционная) симметрия

Вслучае поступательной симметрии Α, Φ ≠ f (z), и поэтомуL ≠ f (z).

лярной волноводной системой при настройке на критическую длину волны).

Обратимся к рис. 23.1, поясняющему механизм взаимодействия в рассматриваемом случае. На рис. 23.1,а изображен участок круглого волновода на частоте отсечки волны Н01. В этом случае фазовая скорость υф → ∞ и рас-

пределение компонентов поля не зависит от z. Винтовой электронный поток,

311

формируемый продольным магнитостатическим полем с индукцией В0 , взаимодействует с компонентами поля Н01. Траектория электрона в однород-

ном продольном магнитном поле с индукцией В0 имеет вид спирали, как это изображено на рис. 23.1,а. На рис. 23.1,б изображено поперечное вращение электрона в однородном магнитном поле.

Рис. 23.1.

Здесь а – радиус вращения электрона (радиус ларморовской орбиты); υ

центростремительной, в качестве которой выступает магнитная составляющая силы Лоренца еB0υ . Если считать, что круговое движение электрона не возмущается, то υ = a Ω, где Ω - угловая частота вращения электрона в магнитном поле В0 .

Из баланса сил следует Ω= B0e . Эта формула показывает, что вращение m

электрона в постоянном магнитном поле неизохронно, т.е. угловая частота вращения Ω зависит от массы электрона m% : с ростом массы (т. е. при ускорении электрона) его частота вращения уменьшается; у тормозящегося электрона частота вращения, наоборот, возрастает. За счет этого возможна релятивистская фазовая группировка электронов, лежащая в основе механизма взаимодействия в гирорезонансных приборах. Для накопления эффектов взаимодействия необходимо, чтобы фаза средней за период вращения силы

312

электромагнитного поля, воздействующей на электрон, изменялась медленно во времени. Такое условие (называемое условием синхронизма) обеспечивается при kΩ ≈ω , где k — целое число.

На рис. 23.1,в иллюстрируется случай k = l. В момент t0 электрическое поле достигает максимального значения: при этом электрон r1 оказываетсяr в

максимальной тормозящей фазе поля (электрическая сила F = −eE направлена противоположно вектору его скорости), электрон 2 — в максимальной ускоряющей фазе, электроны 3 и 4 «нейтральны»: воздействующие на них

силы нормальны к траектории. Через полупериод в момент t = t0 + T2 , как

видно из рис. 23.1, в, относительные фазы электронов во внешнем поле не меняются: электрон 1 опять оказывается в тормозящей фазе, 2 — в ускоряющей, электроны 3, 4 остаются «нейтральными». Очевидно, что с течением времени масса электрона 1 уменьшится, а электрона 2 увеличится. Изменение же частоты вращения будет обратным, за счет этого изменения электроны 1 и 2 сблизятся с электроном 4; произойдет, следовательно, фазовая группировка.

На рис. 23.1,г иллюстрируется случай ω ≈ 2Ω. При этом наиболее выгодным является положение ведущего центра орбиты электрона в узле рас-

пределения поперечной составляющей Е. Теперь электроны 1, 2 — тормозящиеся, 3, 4 — ускоряющиеся. Очевидно, что если электронный поток на входе области взаимодействия имеет равномерное по фазам вращения распределение электронов (равноперемешанный поток), то за счет фазовой группировки при k = 2 возникают два фазовых сгустка: тормозящиеся электроны 1 сближаются с ускоряющимися электронами 4, а электроны 2 — с электронами 3.

Вернемся теперь к интегралу движения (23.6). Как видно из структуры

водит к очевидному, но тем не менее интересному с физической точки зрения выводу: тормозящийся электрон (масса которого уменьшается) ускоряется по направлению z (релятивистское ускорение).

Рассмотрим опять случай гирорезонансного взаимодействия электронов, теперь уже с полем Emn0 . На рис. 23.2,а рассмотрено взаимодействие винто-

вого электронного потока с полем E110 круглого резонатора. Теперь, в отличие от предыдущего случая, имеются синхронные

313

Рис . 23.2.

составляющие как продольной магнитной, так и продольной электрической сил Лоренца. Образование синхронной составляющей силы Fez = −eEz иллю-

стрирует рис. 23.2, б. Для существования этой составляющей достаточно поперечной неоднородности в распределении Ez ; наиболее же ясна ситуация,

когда ведущий центр электронной орбиты совпадает с узлом распределения Ez , как это показано на рис. 23.2, б.

Обратимся теперь к интегралу (23.7). Положим, что выполняются условия резонансного взаимодействия на k −й гармонике циклотронной частоты (т. е. ω ≈ kΩ). В этом случае эффекты взаимодействия носят кумулятивный характер и значительные изменения параметров движения электрона возможны в относительно слабом ВЧ поле (в отличие от нерезонансного случая, когда для значительного изменения траектории электрона нужны сильные

поля). Поэтому можно считать, что mz& T >> A%zT . При таком условии в первом

приближении (23.7) дает mz&T ≈ const .

Последнее приводит к далеко не очевидному заранее выводу: действие продольных магнитной и электрической сил в поле Emn0 при условии гироре-

зонанса взаимно компенсируется. Отбор энергии электрона в рассматриваемой схеме происходит весьма своеобразно: поперечная скорость ВЧ магнитным полем преобразуется в продольную, причем так, что торможение электрона продольным электрическим полем компенсируется. Более того, с уменьшением энергии электрона (с уменьшением m ) z& возрастает, посколь-

ку mz&T ≈ const . Отсюда, в частности, приходим к выводу, что прямолинейный на входе в поле Emn0 пучок при условии гирорезонанса может только от-

бирать энергию от поля, но не отдавать ее. Это не означает, конечно, что обратная ситуация невозможна. Более подробный анализ показывает, что отда-

ча энергии (и довольно эффективная) возможна, если B0 в 2—3 раза превышает синхронное значение, т.е. отбор энергии от прямолинейного электронного пучка возможен в несинхронном режиме под действием сильных Emn0 -

полей. Это явление представляет интерес в случае мощных релятивистских электронных потоков, когда отдаваемая потоком энергия достаточна для поддержания в нагруженном резонаторе напряженности поля необходимой амплитуды.

314

Следует обратить внимание еще на один физический результат, вытекающий из (23.6) и полученного частного следствия (23.7): поскольку

mz& ≈ const ( H011, Hmn1, L >> λ ) или mz&T ≈ const (Emn0) в слабом ВЧ поле относительные изменения угловой скорости вращения электрона и скорости про-

в слабом ВЧ поле электроны движутся вблизи невозмущенной винтовой траектории, а их группировка происходит за счет изменения под действием ВЧ поля скорости движения вдоль этой траектории (на это физическое следствие трансляционных интегралов движения обратил внимание авторов В. К. Юлпатов).

23.3. Азимутальная симметрия

Закон сохранения (23.8) имеет достаточно широкую область приложения. Рассмотрим здесь наиболее интересный частный случай — гиротрон со слабонеоднородным магнитостатическим полем. При этом

статическим и лишь слабо возмущает электронную траекторию. Используя это приближение, а также (23.9), из (23.8) получаем

mr2ϕ& − B0er2 / 2 = const .(23.10)

Проведем в (23.10) усреднение по периоду вращения электрона. Введем обозначения а, r0 , Ф, как это

указано на рис. 23.3: а- мгновенный радиус вращения электрона; r0 — мгновенный радиус ведущего центра орбиты электрона; Ф — угол вращения по орбите с радиусом а . Тогда:

315

Учитывая (23.12), (23.11), а также то, что Ω = B0e / m, из (23.10) получаем

Полученный результат (23.13) является усредненным орбитальнодрейфовым интегралом движения электрона в азимутально-симметричном поле. Он связывает радиус ларморовской орбиты электрона а и радиус ведущего центра этой орбиты r0 .

Как следует из (23.13), при B0 = const

Закон сохранения (23.14) указывает на то, что при уменьшении а уменьшается и r0 , и наоборот. Таким образом, радиус ведущего центра тормозяще-

гося электрона уменьшается, а ускоряющегося — увеличивается. По этой причине средний радиус ведущих центров трубчатого пучка в гиротроне следует выбирать несколько большим радиуса, на котором достигается максимум рабочей гармоники поля. Тогда в дополнение к основному механизму взаимодействия в гиротроне будет иметь место механизм селекции электронов: тормозящиеся электроны будут перемещаться в область более сильного поля, ускоряющиеся — в область более слабого поля.

Если ларморовский радиус намного меньше радиуса ведущего центра: a << R , то из (23.13) следует

Уравнение (23.15) может использоваться в качестве первого приближения для траектории ведущего центра электронной орбиты в гиротроне.

23.4. Вращающиеся поля

Среди многообразия видов взаимодействия мощных релятивистских и слаборелятивистских электронных потоков с электромагнитными полями особый интерес представляют такие, в которых осуществляется взаимодействие электронов с вращающимся электромагнитным полем в условиях резонанса на одной из гармоник циклотронной частоты. К приборам (схемам), в которых осуществляются подобные виды взаимодействия, относятся гирорезонансные приборы, пениотрон,. усилители с магнитным преобразованием дрейфовой энергии в осцилляторную. В гирорезонансных приборах высокая эффективность взаимодействия обусловлена релятивистским механиз-

316

мом орбитальной группировки; в двух последних схемах идеальные условия фазовой группировки достигаются благодаря действию специальных механизмов перемещения (дрейфа) ведущих центров электронных ротаторов во вращающихся электромагнитных полях. Во всех указанных схемах для правильного описания (и тем более для количественных оценок) необходимо корректное выделение уравнения дрейфа ведущего центра. Такое выделение может быть осуществлено в форме орбитально-дрейфового интеграла движения, который получается ввиду пространственно-временной симметрии вращающегося электромагнитногополя.

Рассмотрим случай вращающегося электромагнитного поля, которое в частном случае может быть задано функцией Герца вида

1.Рассмотрим случай, когда

магнитостатическое поле). При перечисленных условиях из (23.18) получаем

317

Заметим, что в узлах стоячего поля A%ϕ = Φ% =0 и интеграл (23.19) в этих

точках является точным.

Интеграл (23.19) открывает широкие возможности для анализа особенностей взаимодействия электрона с вращающимися полями. Рассмотрим некоторые из них.

Исследуем вопрос о возможности генерации на прямолинейном электронном потоке во вращающемся поле. Пусть индекс 1 соответствует входу в область взаимодействия, индекс 2 — выходу. Тогда r(0) = r1 = 0 и из (23.19)

получаем

Из (23.19) следует, что отбор энергии от пучка электронов при ω / n > 0 (направления вращения электронов в магнитном поле и поля совпадают) возможен лишь при ϕ&2 < Ω2 / 2 , т.е. при смещении ведущего центра электронной

орбиты более чем на радиус этой орбиты. При ω / n < 0 (направления вра-

Результат (23.21) показывает, что развертка электронного потока в Т- поле происходит точно вокруг направления z. Таким образом, для Т-волн

Соотношение (23.22) указывает на то, что ∆ε >0 при ω Ω2 < 0 т. е. от-

бор энергии от прямолинейного электронного пучка во вращающемся Т- поле возможенr толькоr при встречном вращении поля и электрона в статиче-

ском поле В0 . При В0 =0 Ω2 =0 и энергообмен отсутствует. Во вращающем-

ся же Н-поле функцию rB0 выполняет компонент B%z , поэтому здесь энерго-

обмен возможен и при В0 =0. При ω >0 и правильном фазировании электрона поле B%z в месте его нахождения имеет противоположное оси z направление, обеспечивая ωϕ&2 < 0 и соответственно ∆ε >0.

2. Рассмотрим установившийся режим в цилиндрическом магнетроне. В этом случае в (23.18) присутствуют члены Bz0 , Er0 , A%ϕ , и оно принимает вид

318

ВЧ-потенциал замедляющей системы.

3. Исходя из (23.19) получаем усредненный орбитально-дрейфовый интеграл движения электрона во вращающихся полях. Используя (23.12), будем иметь

Выражение (23.24) является общей формой усредненного орбитальнодрейфового интеграла движения, связывающего параметры орбитального движения m, а с изменением радиуса ведущего центра r0.

Рассмотрим некоторые модификации полученного интеграла движения. В случае постоянного магнитного поля (т. е. F=l) положим, что в начальном сечении области взаимодействия (z = 0) выполняются условия синхронизма с попутной парциальной волной электромагнитного поля на k-й гармонике циклотронной частоты

Запишем также слаборелятивистское приближение этого интеграла:

319